出土竹简里的汉代数学

　　近年中国出土文献研究不断取得新的进展，其中与古代数学相关的材料尤为引人关注。2025年12月，由陈伟、熊北生主编的《睡虎地西汉简牍〔贰〕·算术》由中西书局出版。这部著作系统整理了2006年湖北云梦睡虎地七十七号西汉墓出土的216支数学简牍，实为秦汉数学文献研究的重要成果。

　　开卷之际，颇有一种“如逢故人”的感觉。参与本书整理与研究的几位学者，长期从事秦汉简牍与数学史研究，其成果学界早有关注。此次将睡虎地汉简中的算术材料系统整理出版，不仅为中国古代数学史提供了一批新的基础材料，也使我们得以更具体地理解秦汉时期数学知识在社会生活中的实际形态。

　　一、材料的发现与文献价值

　　《算术》出土于湖北云梦睡虎地七十七号西汉墓，共计竹简216支。该墓葬年代大致在西汉文景之际。由于属于科学考古发掘，简册保存状况较好，编次关系清楚，字迹亦较为清晰，这些条件使得这批材料能够较完整地呈现其原始面貌。

　　从数学史角度看，这批材料的重要性首先在于：真实完整、年代较早。秦汉时期的数学文献，长期以来主要依赖传世典籍《九章算术》，直到1984年初在湖北省江陵县张家山247号墓出土汉简《算数书》，后又有入藏岳麓书院的秦简《数》、入藏北京大学的秦简《算书》。如今，睡虎地汉简《算术》的公布，使得这一时期的数学文献序列更加丰富，也为研究秦汉算学的发展脉络提供了新的证据。

　　从内容上看，这些算题大体可以与《九章算术》的若干章节相对应，如“少广” “方田”“商功”“衰分”“粟米”“盈不足”“均输”等。不同的是，《九章算术》算题编纂成章，而《算术》则单例算题呈现，这点与张家山汉简《算数书》类似。只不过，《算术》从第一题“少广”，与接续列出的“二分”“三分”“四分”“五分”“六分”“七分”“八分”“九分”“十分”，在其他几部文献里是合为一题的。“少广”也是关于田亩面积计算的，或可形象描述：想象一块可以变幻的正方形田，面积1亩（240步）固定不变，若拉长“纵”边，成了长方形，“广”边就随之变小了。《算术》算题内容丰富多样： “田”“径田”“周田”“弧田”“冢田宛田”“土功”“垣城堤堑”“圆高池囷” “合分”“出徒”等。全书共见算题（或术文）63例，其中自有题名的算题40例，原无题名的算题，由整理者酌情拟定，以便研究者引用与讨论。研究者依据全书简文的某些特征、迹象，判断《算术》大概是一种数学文献的抄本或者摘抄本。

　　二、数学问题中的现实世界

　　阅读《算术》简册，一个颇为有趣的现象是：这些算题并非抽象的数学练习，而往往与具体事务联系在一起。研究者通过对简文内容的综合分析，认为这些算题可能与墓主人“越人”的职业活动相关。

　　墓主人“越人”的入葬年代约在文景之交。从简文中所涉及的事务来看，其工作可能与丈田、治田籍、工程修筑、仓储管理以及漕运事务等有关。若将这些算题放在这样的背景下观察，便不难理解其内容为何如此贴近现实。比方说，一些算题涉及田地面积的计算，可联想到这是丈量土地时所需的技术；另一些算题则涉及工程土方计算或物资分配，这些显然与行政事务密切相关。

　　由此观之，《算术》简册或许不仅是一部数学文献，也可能是一种官吏实务性的技术手册。通过这些材料，我们仿佛可以看到一位基层官吏在日常工作中使用数学知识的情景：丈量田亩、估算工程、管理仓储、计算运输。这种将数学与现实生活紧密联系的知识形态，正是秦汉算学的重要特征。

　　三、几何计算与数学水平

　　在《算术》简册所包含的众多算题中，有些内容尤为引人注目。例如“冢田宛田”一题，其简文云：

　　“冢田、宛田，半径乘下周即成。”

　　研究者在注释中指出，这一算题给出的是半球形田地的面积计算方法，简文所述计算规则可以表示为：面积= 半径 × 下周长，即 S=R×2πR。球形表面积计算方法为 S=4πR，冢田、宛田面积正为球表面积的一半。这一问题在其他已知的秦汉算学简牍中并未见到，而在《九章算术》“方田”章中则有类似内容。

　　由此可见，秦汉时期的数学家不仅能够处理各种平面几何问题，对于某些立体几何问题亦已有一定认识。类似的例子还有各种不同形状田地的面积计算，例如：扁帚田、不端刲（圭）田、柧（弧）田、弓田。这些名称对应不同的几何形状。例如“弧田”可理解为半圆形田地，而“扁帚田”则可能对应某种三角形区域。通过这些算题可以看出，当时的数学实践已经涉及多种复杂几何形态的面积计算。

　　此外，书中还记载了关于圆周率计算的算题：

　　“曰：有睘（圜）将来，直（置）十六与五侍之。欲求其径，以五乘周，十六而一，径也。欲求其周，以十六乘径，五而一，周也。有径十步，问：周几何？得曰：周卅二步。”

　　依简文，直径=周长×   ，周长=       ，其中所使用的圆周率数值就是 “3.2”，较之同时期其他几部数学文献里使用的圆周率“3”，《算术》里的圆周率取值更接近现代的“3.14”。这也说明秦汉时期在圆周计算方面已经积累了一定经验。

　　四、整理工作的学术特点

　　从文献整理的角度看，《睡虎地西汉简牍〔贰〕·算术》在体例安排与注释方式上都体现出较高水平。

　　首先，本书主体分为“释文与注释”和“图版”两大部分。前者是对简文的释读与详细注释；后者则提供竹简原大与放大的图版，使读者能够直接观察简文书写情况。这种编排既便于研究者查阅释文，并从专业精深、阐释明晰的注释获得帮助，也保证了原始材料的可检验性。

　　其次，在注释部分，整理者不仅对简文考据、阐释，还对算题所涉及的数学原理进行说明。例如：对于“启方术”一题，注释指出“启方”就是开方，本题是指平方根的求解方法。简文：“启方术曰：置田一亩二百卌步而除一步焉，即得方一步，而得法三，见法即除，辄增方一，亦增法二，以尽二百卌步者，得方十五步卅一分步之十五，为田一亩。”注释里，绘图形以助阐释，这种多维度注释方式，使得读者能够更清楚地理解算题的技术含义。

　　综而论之，《睡虎地西汉简牍〔贰〕·算术》的出版具有多方面意义。首先，它为秦汉数学史研究提供了新的基础材料。《算术》所呈现的内容十分丰富，特别是在田亩测算与几何计算方面，补充了不少新的题型。其次，这些材料有助于理解《九章算术》的知识来源。许多算题类型在两者之间存在明显联系，这提示秦汉时期已经存在较为稳定的算学传统。再次，从社会史角度看，《算术》简册展示了数学知识在行政实践中的重要作用。数学不仅是一门学术知识，也是一种服务于社会治理的技术工具。

　　从文献整理到数学史研究，本书都提供了值得重视的成果。可以预期，随着更多学者参与讨论，这批材料将在中国古代数学史研究中发挥持续而深远的影响。

　　（作者为湖南大学建筑学院、湖南大学简帛文献研究中心教授）