太极图的数学表达

一

 

    人历三圣，世历三古的《周易》经传极深研几，体大思精，代表着中国古代哲学的最高智慧。孔子说：“圣人立象以尽意，设卦以尽情伪，系辞焉以尽其言。变而通之以尽利，鼓之舞之以尽神。”《易传·系辞上》解释说：“乾坤，其《易》之缊邪？乾坤成列，而《易》立乎其中矣。乾坤毁，则无以见《易》。《易》不可见，则乾坤或几乎息矣。是故形而上者谓之道，形而下者谓之器，化而裁之谓之变，推而行之谓之通，举而错之天下之民谓之事业。是故夫象，圣人有以见天下之赜，而拟诸其形容，象其物宜，是故谓之象。圣人有以见天下之动，而观其会通，以行其典礼，系辞焉以断其吉凶，是故谓之爻。极天下之赜者存乎卦，鼓天下之动者存乎辞，化而裁之存乎变，推而行之存乎通。”以乾坤立象，是《周易》会通天道与人道的基本路径，而太极图正是体现“一阴一阳”互补原理自洽性的最准确的表现形式。自宋代理学家周敦颐著《太极图说》以后，在《周易》阐释史上，太极图就具有了独特的意义。真理总是历久弥新。我们甚至可以从量子力学的创始人玻尔与太极图之间千丝万缕的联系中清晰地体味到太极图的意义。玻尔努力用太极图表达量子场的对应原理和并协原理，并把太极图刻成徽章悬挂，这至少说明太极图与玻尔的学说具有共通性。玻尔的“并协原理”强调“互斥即互补”，“对立者是相互补充的”，正是《易传·系辞上》“一阴一阳之谓道”所彰显的对立统一的原理。“对应原理”解释量子现象与经典物理之间的对应关系，如果否定这一原理与《周易》的哲学体系之间有任何联系，那就意味着否定了《周易》思想所具有的广度和深度。事实上长期以来，国内学术界一直存在否定玻尔“并协原理”与太极图之间有密切关系的观点。这种观点的存在或多或少都源于对太极图科学性认识的欠缺，从一个侧面反映出20世纪以来对中国古代文明缺乏应有的敬畏，以及对中国古代哲学思想的科学性自信之不足。

 

二

 

    太极图的S曲线，并不是随意性的美工图，它实际上贯彻了以勾股定理为基础的中国古代数学智慧。

 

    中国人对勾股定理的描述，最少可以上溯至三千年前西周初年的商高，而古巴比伦人应用勾股定理，大约在公元前三千年前。公元前六世纪古希腊人毕达哥拉斯对勾股定理的证明，使勾股定理在欧洲有了“毕达哥拉斯定理”的名称。如果从勾股定理入手，通过单位正方形内的内切圆，应用阿基米德定理的杠杆平衡原理和模糊数学的核心思想，可以用一个初等函数精确地表达太极图的S曲线。这一论证将表明，太极图是可以用数学语言表达的，并不是无标准方程、无标准几何图形的。其意义不仅在于充分表达了中国太极图的科学性，也充分表达了太极图反映事物存在和发展的本根依据。

 

    一般来说，我们认为，当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一端的轨迹叫作圆；在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。圆的定义也可由众所周知的勾股定理而得，“一个直角三角形两个直角边的平方之和等于斜边的平方”，也就是说，当斜边定长时，两个直角边此消彼长的点的集合恰恰就是圆的轨迹。几何图形如图1，代数表达式为：

 

    a2+b2=c2，或(a/c)2+(b/c)2=1（1）

 

    我国东汉末的数学家赵爽在注《周髀算经》时就说：“勾股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。” 赵爽并依此还创造了“勾股圆方图”。

 

    若用x和y分别表示两个直角边与斜边所对应正方形面积的商值，并分别定义这个商值为这个三角形的阳值和阴值：

 

    即令x=a2/c2,y=b2/c2

 

    则有x+y=1（2）

 

    这意味着无论两个直角边怎样变化，其商值之和恒等于“1”，即它们的阳值和阴值之和恒等于“1”。其几何形式如图2。

 

    ∵a,b∈(0，c)，∴x,y∈(0，1).

 

    x=a2/c2=(c2-b2)/c2=sin2α

 

    =(1-cos2α)/2:=P(α)

 

    α∈(-∞，+∞)

 

    y=b2/c2=(c2-a2)/c2=cos2α

 

    =(1+cos2α)/2:=N(α)

 

    α∈(-∞，+∞)(3)

 

    如果说式（1）和图1是欧几里得几何的基石，那么图2和式（2）则提出了模糊集合的概念，开启了现代数学的发展之路。把它们联系起来，则有如下概念：

 

    勾股定理的本质内涵是指一个单位直角三角形的斜边所对应的面积恒等于两个直角边所对应的面积之和。我们假定可以选择一个特定的城市，如甘肃省张掖市。这个城市由沙漠和绿洲两部分构成，有水即为绿洲，无水则为沙漠，但沙漠面积和绿洲面积之和总不会变。若把张掖这个城市的总面积看作一个单位面积“一”，那么，绿洲面积和沙漠面积之和则恒等于“1”，当绿洲面积变大时，沙漠面积就会变小，反之亦然（图４）。而这个此消彼长的点的集合恰恰就是圆的轨迹。

 

    又因为x=1-y，y=1-x，说明阳函数和阴函数相反相成、偶对平衡、对立统一，像量子纠缠一样，总是彼此以对方的存在为依据，相互纠缠、相互叠加，总值恒等于“1”，即绿洲面积是关于沙漠面积的偏差值，而沙漠面积是关于绿洲面积的偏差值，它们的偏差值之和恒等于“1”。然而，张掖的大部分区域是在绿洲和沙漠之间，就像是在x+y=1这条线段上的点一样，总处于［0，1］这个区间内，所不同的是相对于某一个平衡值而言，是绿洲属性更强一点，还是沙漠属性更强一点。对于一个系统，我们完全可以在某一单纯属性上，就两个相反相成的状态，进行集合分类，就像土壤的含水量可以分为干湿两个相反相成的集合，经济运行状态也可以分为积累和消费两个相反相成的集合。大道至简，简而言之，就像我们对待一切事物的主观态度一样，都可以以某一个客观平衡值，将事物分为正反、白黑、上下、左右、大小、轻重，甚至是好和坏两个相反相成的状态进行集合分类（我们可以将此集合分类法记为：↑0↓）。尽管如此，但事物状态的真实存在大多是在黑白的区间内，不是简单的非白即黑的罗素悖论，而更多的是亦白亦黑，所不同的是黑白大小比例不同而已，这也是模糊数学之由来。

 

    如此看来，弦、勾股定理和圆的本质内涵是一致的，动则为圆，静则为矩，都是关于“一”的哲学和科学。实际上，源于我国魏晋时期的玄学，已经是在先秦易学思想“一阴一阳之谓道”“道生一，一生二，二生三，三生万物”关于阴阳消长、此消彼长的哲学思辨和《周髀算经》《九章算术》关于圆、勾股定理的数形学理分析基础之上才兴起的，它一直深刻地影响着中国后期的文化。中国的水墨画就是这一思想的典型代表，如果说把黑白定义为0和1或者阴和阳，那么，大千世界就会随着墨香的浓淡深浅在黑白之间，在［0，1］的区间内，在阴阳此消彼长的变化中惟妙惟肖地飘逸呈现出来，把人带入天地间的无限遐想之中。从这个角度讲，我们完全有理由说，中国的水墨画就是一张阴阳图，就是一张模糊数学的集合图。不仅如此，它也是辩证唯物主义“一分为二”的数学模型图，视事物为一个相反相成的矛盾统一体↑0↓，矛盾着的两个方面相互作用此消彼长推动事物的发展。

 

三

 

    在图2中，如果以P点为圆心，以该正方形边长的1/2长度为半径，作该正方形的内切圆，则有图５。

 

    在图5中，若把AB视为一根长度为“1”的杠杆，把C、D两点的长度y2-y和y-y1分别视为杠杆两端重物的重量，根据杠杆原理，则存在有：

 

    AR =1-x,  BR =x.  x∈[0,1]

 

    AR / BR = CQ / DQ ,

 

    即(1-x)/x=(y-y1)/(y2-y).

 

    y=xy1+(1-x)y2（4）

 

    设C(x,y1),D(x,y2)，则C,D满足圆方程：

 

    (x-1/2)2+(y-1/2)2=1/4

 

    其中

 

    y1=1/2-,

 

    y2=1/2+

 

    代入式（4）得中国太极图S曲线标准方程为：

 

    y=1/2+(1-2x)，

 

    x∈[0,1].（5）

 

    令y'=0，即得：

 

    x1=1/2-,x2=1/2+.

 

    则y分别有最大值3/4和最小值1/4，由此可确定出中国标准太极图（图７）中的拐点坐标分别为（1/2-，3/4）和（1/2+，1/4），“鱼眼”坐标分别为（1/2-，1/2）和（1/2+，1/2）。

 

    式（4）说明了圆和正方形之间的关系，杠杆和重物尽管各属于两个不同的系统，但距离和重物两个系统之间始终围绕着一个力矩相等的平衡点保持着一个新系统的平衡，即尽管左右两边力臂长短不同，受力大小不同，但两个系统阴阳值的比例相等，这既是阿基米德的杠杆原理，也是杆秤称重物的原理，如图６。对此，我国先秦时期的墨子早已有详细论述。

 

    式（5）说明当把直角坐标系中的x+y=1这条直线放在其内切圆内时，该直线则变形为式（5）的S曲线，如图７。

 

四

 

    世界犹如一个单位直角三角形，两个直角边有一个相反相成的属性，像量子纠缠一样，相互叠加、偶对平衡存在于一个事物之中；这个相反相成的属性此消彼长、偶对平衡，但都始终恒等于“1”，从这个角度讲，中国太极图及其思想表达的核心就是偶对平衡、对立统一，就是关于“存在者之存在”的几何表达，是对“存在”之根据的表述，是“being of beings”中的“being”，是“一即一切”中的“一”，它源于勾股定理，却早已超越了勾股定理，不仅表达了欧拉公式的思想（eiθ·e-iθ=(cosθ+isinθ(cosθ-isinθ)=cos2θ+sin2θ=1），并且早已开启了相对世界的大门，表达了在近现代才发展起来的现代数学模糊集合的重要思想。“弦”不能等同于“玄”，其实并不“玄”。

 

    英国学者李约瑟曾质疑中国古代技术为什么没有产生科学，近代大儒梁漱溟先生则认为中国文化是早熟的文化。有的时候，可能真会觉得，真理之所以难以被人普遍接受，就是因为太简单。在人们追逐物欲的物理世界里，后物理学显得如此孤傲和凋零。但是，正如《论语·子张》中孔子的弟子子夏所说：“博学而笃志，切问而近思。”《礼记·大学》说：“知止而后有定。”面对科学的日新月异，我们的确需要回到事物本身。玻尔建立的对应原理和并协原理与太极图的联系，证明太极图的原理是具有科学性的，而太极图的Ｓ曲线可以被数学函数所描述，更可以证明太极图的图形本身是体现了中国古代哲学家的数学智慧。当我们用数学函数Ｓ曲线证明了太极图的科学性，我们就不能把这种合乎科学性的事实看作是一个偶然性，相反，我们应该认识到，只有合乎可以被函数描述的Ｓ曲线的太极图，才是古代太极图的本来面目。

 

    哲学寓于现实又超于现实，是源于现实问题而又被高度凝练用来指导现实的学说。《周易》体现的是中国传统文化中的“道统”，故而它理应是可以被“学统”所证明，被“政统”所遵循的。一个国家、一个民族的文化应是基于其道统基础上的延伸，一个国家、一个民族文化内涵的基因一定是它的道统本源，也是文化外延的依据，将道统、学统、政统三者融会贯通，且将文化内涵的基因与文化的外延广泛联系起来的学说，则就是具有中国特色的哲学社会科学。习近平总书记在哲学社会科学工作座谈会上的讲话中指出：“哲学社会科学是人们认识世界、改造世界的重要工具，是推动历史发展和社会进步的重要力量，其发展水平反映了一个民族的思维能力、精神品格、文明素质，体现了一个国家的综合实力和国际竞争力。”作为《周易》思想的历史展开，太极图的出现使“一阴一阳谓之道”有了更加形象的表达。马克思说：“当一门学科还不能被数学所充分表达的时候，说明它尚不完善。”太极图是可以被数理方程所充分表达的标准图，这无疑可以增强我们对以《周易》为重要组成部分的中国传统文化的自信。

 

    （陈克恭，甘肃省中国特色社会主义理论体系研究中心研究员，西北师范大学党委书记、研究员、博士生导师；马如云，西北师范大学数学与统计学院院长、教授、博士生导师，第七届“秦元勋数学奖”获得者）