从似是而非到似非而是

    有句名言说：科学其实比任何科幻更神奇，更需想象力。人们通常以为，数学是受到严格限制的学科。其实就想象力来说，数学和物理学相比毫不逊色。伏尔泰早就说过：“阿基米德的头脑较之荷马有更丰富的想象力。”

    最近出版的史迪威《渴望不可能——数学的惊人真相》中译本，可使人们看到数学里的想象力。《渴望不可能》分9章回顾了无理数、虚数、平行公理、无穷小、弯曲空间、第四维、理想、周期性、无穷大这些在数学史上曾经是不可思议的概念。

    这里的“不可能”与通常理解的“不可能性”不是同一个意思（但两者是有联系的）。“不可能性”一般是指数学和科学中一系列否定的结果（而人们原来以为这些结果是肯定的），这些结果出乎意料，甚至颠覆人们的世界观，比如三大尺规作图不可能、证明平行公理不可能，还有惊世骇俗的哥德尔不完备性定理：不可能制造出一套公理系统穷尽包含初等数论在内的全部命题的证明。据说哥德尔定理被称为千古第二定理（第一定理是勾股定理）。——这里的第一第二只是时间顺序。勾股定理固然伟大，却非宇宙间普遍真理（在弯曲空间里就不存在）；但哥德尔定理的限制是普遍的，不要说人类，即便上帝也办不到！ 我把这些数学成就称作“似是而非”。

    耐人寻味的是，在数学中还存在相反的过程：就是看似荒谬的、不可思议的东西，最终却是可能的、肯定的，它们不仅被数学家最终承认其“合法地位”，并且在数学中扮演了重要角色，成为数学发展的里程碑。我称它为“似非而是”。《渴望不可能》一书中既包括“似是而非”，也包括“似非而是”，且主要是后者。

    最典型的例子就是虚数，从名字也看得出它是多么奇特。虚数甚至曾为数学家排斥，但就是特别管用（后来发现虚数乘法相当于旋转），无论是用于物理学（如电磁学和量子力学），还是解析数论（如证明哥德巴赫猜想）。另一个例子是无穷大竟然可以比较大小！ 这听起来都像是天方夜谭、痴人说梦。别说普通人，即便是当时的大数学家，也不是马上接受的。

    到现在为止，我们都没法用初等数学证明：不能将一个正方形划分成奇数个面积相等的三角形——而乍一看，这不是一道初中数学练习题嘛！ 但巴拿赫-塔斯基悖论（其实不是悖论）又让我们大跌眼镜：可以将一个球划分成有限个点集，然后通过旋转、平移，拼成两个和原先那个球大小一样的球，并且保证既无重叠、也无遗漏！ 试问数学何以在有些命题上表现如此苛刻，而在有些命题上又如此“任性”？ 这，就需要我们的想象力了。

    其实，初等数学就已经不简单了。当我们要证明平面几何中两个靠得很近的角或边相等，却往往要用辅助线兜个大圈子才能达到目的。似近而远，似远而近，其中是否蕴含某种哲理？ 我几十年也没想明白，只是觉得很奥妙。高等数学就更是超越直觉，那些“似是而非，似非而是”的结果主要来自高等数学。（这跟物理学也十分类似，经典物理学还好理解，一到量子论和相对论，大家都觉得很玄乎，很难理解。）

    不少人心里都有一个疑问：数学十分抽象，离开生活甚远，究竟有何用处？ 这个问题其实由不同水平的人问出来，有着不同的涵义，或者说有高级和低级之分。学校老师的标准回答是培养逻辑思维，其实不是很能服人，因为如果真要培养逻辑思维，平面几何也就够了，虚数和无穷大似无必要。如果仔细地去追究，也许以下两个答案更为合理。

    首先，数学是国家科技战略的重要部分，国家需要数学人才，但一个人起初是不知道自己是否擅长数学的，只有通过长期培养，才能从大批学生中筛选出少数人才。

    其次，数学有它自己内在的推演和美感，这种推演也往往有来自大自然的有力支持——也正因为此，才使数学家有了更加坚定的信心。本书的任务正是对第二点的阐述，它告诉我们数学中那些新概念的意义和来龙去脉，等于从比较高级的角度阐述了数学究竟有什么用。

    最后再提一下想象力本身。19世纪德国著名数学家克罗内克说过：“上帝创造了自然数，其余一切都是人为。”这句话经常遭到批判（因为克罗内克以此激烈反对康托尔的集合论），但仍不失为一句深刻的名言。从最广泛的角度来讲，任何数学理论只要在逻辑上不矛盾就可以了，然而事实并非那么简单，数学家最关心的不是无矛盾，而是价值。新数学概念提出伊始，往往不被看好，必须假以时日方可看清它的价值。正是这些想象力，或者说更为高明的直觉，使得那些“似是而非、似非而是”的概念成了数学主流。当然，到底什么是更有价值的东西呢？ 即便是大师，作出判断也是很难的。