从《古今数学思想》到《数学世纪》

    《古今数学思想》(中译版和英文版)，[美]M.克莱因著，万伟勋等译，上海科学技术出版社2013年11月版

    《数学世纪——过去100年间30个重大问题》，[意]奥迪弗雷迪著，胡作玄等译，上海科学技术出版社2012年1月第一版，28.00元

    有一次突发奇想，如果数学中也有“四书五经”，哪些书有资格列入呢?当然，最好先给出“四书五经”的新定义，比如“四书”可以是数学经典专著如《几何原本》;而“五经”则是指数学史或数学普及读物，美国数学家克莱因的《古今数学思想》或许能列入其中。

    《古今数学思想》的中译本，从第一次出版以来已经30多年了，受到广泛的欢迎和好评。数学史专家汪晓勤教授对笔者说，博耶的《数学史》也很有名，但它只是写给研究生的教材(卡茨的那本也差不多)，相比之下，克莱因的著作专业性强多了。整部著作约120万字，是气势恢宏的巨著。从古埃及、巴比伦开始，第一个详细描述的是古希腊数学，然后沿着历史的轨迹，一直写到1930年代左右。《古今数学思想》特别着重于梳理主流数学的工作。从最古老的算术、代数和几何，一直到抽象代数、拓扑学、泛函分析这样的“新生儿”。凑巧的是，数学中全新分支的开拓，也就到这个时刻为止(应用数学除外)。今天，数学的着重点在于各分支的融合(比如布尔巴基的工作，概率论与统计力学、金融数学、动力系统与数论等)，或是重大猜想的证明(如费马大定理、庞加莱猜想等)。

    全书涉及的人物近千位。除了少数皇帝、主教之外，许多对数学有着重大影响的哲学家、物理学家也在其中。数学家无疑是主角，但除了极少数大数学家有简短生平，全书绝对是以数学工作和思想为主展开的，它所关心的有:对数学本身的看法，不同时期中这种看法的改变，以及数学家对于他们自己成就的理解。所以尽管书中有很多插图，但没有一幅数学家的头像。现在封面上放一些头像，以示对过去的那些杰出人物表示由衷的敬意。

    此书自然是好评如潮。《星期六评论》指出:“什么才是数学思想权威性的历史……大概，这就是我们现有数学史的最全面描述。”至于网上的评价就多了去了。最典型的一个观点是:学了十几年数学，即使会算几个难题，对数学的理解还是云里雾里。有的老师功力也不够，或是没那么多精力尽责，而《古今数学思想》则提供了一个很好的平台，它把数学创造的来龙去脉都讲清楚了。尽管这本书的内容(尤其是后面的)比较深奥，但只要耐心读下去，就会有不断的收获。应该说这样的评价非常中肯。可惜这样的佳作实在是太少了。

    值得一提的是，克莱因在写这本书的时候，中国古代数学已开始得到西方的关注，但克莱因还是忽略了它，日本数学和玛雅数学也没有涉及。克莱因承认中国数学过去的辉煌，但他实在没有过多的精力去整理;并且他指出，由于历史的原因，中国古代数学没有对今天的核心数学主流起到直接的作用。克莱因的理由是对的，我们不能指责他对东方文化不屑，而只能说这是一个小小的遗憾。

    过去的中译本一直是分四册出版，现在与英文版几乎同步推出。由于英文版就只有三册，为统一起见，中译本也改为三册，开本则变大一些。

    《古今数学思想》还有一个不是遗憾的“遗憾”，那就是，如果读者想了解1930年代以后的数学，怎么办?前面说过，现代科学史是几乎无法完成的“伟业”，即便是古代科学史，堪称20世纪科学史第一人的萨顿也仅完成了20%左右。这倒不是说，现代科学史就绝无可能写出来。就拿现代数学史来说，如果要一个人来完成，以找些亮点、写本小册子为宜。所谓亮点，也正是有识之士有感于20世纪科学和数学的爆炸态势，而发明诺贝尔奖或菲尔兹奖等来鉴定好的工作。从这些奖项展开阐述还是可取的。当然，厚也有厚的写法，但只能是各个分支的专家去完成了，这样一来，整本书的系统性却又要受到影响。

    意大利数学家奥迪弗雷迪选择了前一种写法，这就是他一人完成的《数学世纪——过去100年间30个重大问题》，一本薄薄的小册子，然而内容却很丰富。一定程度上，如果谁读了《古今数学思想》，还想了解更新的数学，那么读一读《数学世纪》是比较理想的。即便这本小册子没有《古今数学思想》那么经典，但至少是非常成功的。

    有意思的是，总体来说，《数学世纪》比《古今数学思想》好懂。奥迪弗雷迪为了吸引读者眼球，选择了一种阐述方式，对现代数学的思想根源交代得非常清楚。有的数学书就罗列一堆术语，数学家的贡献就像将军服上的军衔一样，一条又一条，但具体做了什么有意义的事，与别人的工作如何相承，实在搞不清楚。这本书从学科进入，就显得很自然，尽管它也难免术语，至少使我们能看清数学发展的主要脉络，即使称不上全景图的话。

    现代数学和古代数学有较大的不同。现代数学家需要解决什么问题，他们的任务是什么?即使数学家自己一开始也未必清楚。不过笼统地说，总的来说有三大动力:历史遗留问题亟待解决，新的概念和分支需要开拓，以及来自其他学科的刺激。这在《数学世纪》中体现得比较充分(当然《古今数学思想》也是如此)。为了解决一些看似“简单”的问题(如费马大定理、哥德巴赫猜想)，需要发明非常复杂的理论和工具。这一过程是否没完没了，是否复杂的理论和工具会导致更为复杂的问题、于是要发明更为抽象的理论和工具?这一过程的意义何在?至于模式识别、人工智能或博弈论等应用数学著作，一本比一本厚，数学用得天花乱坠，其实它背后的目标也是很明确的。比如多年不见的老朋友，我们还是一眼就认出来，机器如何识别呢?这是一个不太好解决的模式识别问题，数学用得很多。纯数学和应用数学表面看上去很不一样，比如纯数学向高、精、尖方向发展，越来越抽象;而应用数学却是要描述、模拟生物和人类司空见惯的行为，其实它们存在千丝万缕的关系，最终还是要解释这个世界和思维的本质。现在有人把量子力学和黎曼猜想联系起来，或是用动力系统做数论，其实也是更深刻地体现了世界的统一性，这个过程既具有一定的偶然性，却又是必然和自然的。

    这本书最大的特色是无比的清晰、精炼，没有任何拖泥带水、含糊其辞。比如读了1.1节就会明白，集合中似乎显而易见的概括原理为什么是自相矛盾的。谈到海森伯矩阵力学和薛定谔波动力学为何等价，书中是这样说的:1927年，冯·诺伊曼通过希尔伯特空间H得到海森伯的量子力学阐述形式，通过泛函空间L得到薛定谔的量子力学阐述形式。另外，由里斯B费希尔表示定理，可以证明这两种形式等价。其实，对于普通读者来说，并不一定清楚什么量子、空间、泛函、表示的，但他一定可以看出这本书是讲清楚了的。也就是说，一本科普书讲得是否清楚，不是说非让读者一看便懂，而是让读者相信，只要学了相关内容再来读，就一定能懂;这与一些故意玩弄概念游戏的、含糊其辞的书是截然不同的。当然，有些东西太深奥，讲了就不科普，所以奥迪弗雷迪也没有深入展开。

    最令人印象深刻的是关于四色猜想这一节，笔者至今未在其他科普书中看到比本书说得更为清楚和精彩的。1852年，格思里在给英国地图涂色时，突然想到给任何一张地图涂色，似乎只需四种颜色就足够了。诚然，相邻区域必须涂上不同的颜色，并且两个国家之间的边界不应太简单或太复杂。不应太简单意味着，例如边界不能是一个点，否则，若所考虑的区域是像一块块馅饼那样布置的，有限种颜色是不够的。不应太复杂意味着，我们必须将有过多V字形凹痕的边界排除在外，因为有共同这样边界的区域(所谓的“和田湖”)需要与区域数量一样多的颜色，这一数目可能会是任意大。书中还有一张和田湖的插图，引人入胜。和田湖在拓扑学里不算一个陌生概念，但在其他科普书中从未提及四色猜想与和田湖的关系，而若不提这个概念，四色猜想是不严谨的。

    或许由于奥迪弗雷迪学习逻辑出身，所以他的著作还有一种吸引读者进一步思考的特色(翻译质量高也很重要)，比如数学是发现的还是发明的?数学的理论和它的应用之间具有怎样的关系?数学是少数天才随心所欲的创造，还是具有固有的发展模式、集体智慧的结晶?数学为什么给人感觉很难?为什么简单的陈述可能需要任意长度的证明(第117页)，它与人类思维有什么关系?数学的突破往往开始于大师的直觉，结果数学运算又超越了直觉，然后进入下一轮……过去这些问题往往谈得很空泛，它们本身未必是数学的一部分，但能从一个个经典范例中体现、总结出来，对数学的发展也具有重要促进作用。

    本书还有一点“人物花絮”，也颇有意思。比如美国拓扑学家、菲尔兹奖得主斯梅尔是谴责美国卷入越战最著名的知识分子之一，加州大学一度停发他的工资。另一位菲尔兹奖得主施瓦茨则是一个坚决反对阿尔及利亚战争的最著名的法国知识分子，结果他的公寓遭到炸弹爆炸。库克、卡普、莱文是著名的PBNP问题的提出与研究者，但他们的命运却截然不同:库克和卡普分别于1982年和1985年荣获图灵奖;可另一方面，莱文作为一位持不同政见者，最终被捕入狱，由于柯尔莫哥洛夫的讲情，他获得释放，并离开苏联移居国外。

    最后，也要说一说《数学世纪》的小小遗憾:有些地方稍微简略了一点，厚古薄今，比如博弈论，这不是作者专业的领域。不过能写到这个水平，已属相当之不易了。