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    光明日报 2020年03月26日 星期四

    数学方法分析中国抗疫模式的有效性

    作者:乔建永 《光明日报》( 2020年03月26日 01版)

    日前,援鄂的医护人员胜利返程。新华社发

    全国抗疫取得阶段性胜利。新华社发

    图1

        目前,全球新冠肺炎疫情发展迅速,海外累计确诊病例超过30万人,但中国新冠肺炎疫情防控形势持续向好,国内连续多日无新增病例,生产生活秩序加快恢复的态势不断巩固和拓展。国家卫健委发布的数据显示,截至3月23日,疫情重灾区湖北省也连续6天新增确诊病例为零。国际社会认为这显示了中国抗疫行动果断高效,给其他国家战胜疫情带来信心和希望。那么,中国的新冠疫情防控策略为什么科学有效?有没有数学模型认知中国的新冠疫情防控策略?本期邀请数学教授、北京邮电大学校长乔建永详细解读——

        当前,中国本土连续多日无新增病例,疫情重灾区湖北省新增确诊病例也为零,我国疫情防控取得了扭转战局的重大进展。伴随着春天的脚步,中国战胜新冠病毒肺炎疫情的形式持续向好。最近,国内外互联网上不断有人发问:中国的抗疫模式是否可以在其他国家复制?笔者从传染病的数学模型入手,通过分析我国抗疫策略的内在数学逻辑,阐述中国抗疫模式的科学性。历史上,正是依靠数学对于传染病的模型化研究,人类才对其传播模式和严重危害有了更为深刻的理性认识。

        1.从数学模型认识封闭管理与疫苗的重要性

        数学模型,是用数学公式,运算程序,结构图形等对实际问题本质的抽象和刻画,是对真实世界的一种模拟。它能够解释客观世界的很多现象,预测事物的发展演化规律,为控制某一现象的发生和发展提供一定意义下的优化策略。数学模型其实并不是现实问题的直接拷贝,它的建立既需要我们对现实问题深入的观察、推理和分析,又需要我们灵活巧妙地利用各种既有的经验和科学知识。这种应用知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程被称为数学建模。

        现代科学的发展表明,不论是用数学方法在科技、生活和生产领域解决哪类实际问题,还是它同其他学科相结合形成交叉学科,最为关键的一步是要建立研究对象的数学模型,并加以计算求解。信息和计算技术的快速发展为这一求解带来了划时代的新机遇。新冠病毒肺炎疫情发生以来,我们经常会听到某某根据他们的模型预测了疫情终结的大概时间。这里所说的模型就是针对当前的疫情而修正、提炼、选择的数学模型。

        这个听起来高深莫测的数学模型,原理其实并不复杂。比如,在一个固定的社区里,假设每个人接触病人时被传染的概率为P,并假设每个病人平均每天接触到N个人。在这个假设下,不难发现,得病的人数会随时间以指数函数形式增长。如果N与P的乘积小于1(即NP<1),传染病会逐渐减少,如果NP>1则会爆炸式增长。这样看来,控制疫情的途径无疑是要把N和P的数值降下来。现在,我们闭门锁户,封城,限制流动和聚会,就是为了降低N的数值;紧急研发疫苗、戴口罩、洗手消毒,常锻炼、注意营养均衡、提高免疫力,则是为了把P的数值降下来。这就是最简单的传染病数学建模。

        用数学模型研究传染病的历史,最早可以追溯到十八世纪初。当时天花病毒肆虐欧洲,人们发现东方传入的人痘接种术似乎能够治愈这种传染病,但接种后仍有很高的死亡率,这引起了数学家伯努利的注意,他开始思考用数学方法去描述天花的传播以及接种的效果。伯努利将人群分成感染者与未感染者,感染者既有可能治愈变成未感染者,也会因病死亡,以此建立了数学方程。伯努利的想法虽然很直观,但经过计算,他竟然得出了人痘接种在统计意义上仍然能让人的寿命延长 3 年左右的结论。今天看来,伯努利的研究很显然是初步的,但这种科学思维在那个人类命运完全被传染病支配的时代显得尤为珍贵,直到今天仍然是用数学方法研究传染病的基本思想。

        进入二十世纪,用数学模型研究传染病的方法获得了飞速发展,这很大程度上要归功于SIR模型。这个模型用S代表易感者,也就是可能被传染但还没有感染的人;用I代表感染者,即已经被传染但尚未死亡的人;用R代表移除者,他们被感染后痊愈或者因病死亡。SIR模型还有一个样本人数不变的假设,即易感者、感染者和移除者的人数之和保持不变。有了这样一个数学模型,我们需要研究三个群体随时间的变化趋势,第一天有了N个感染者,到了第T天会有多少人感染?因痊愈或死亡产生的移除者又会有多少?为了求出不同人群与时间的关系式,数学家引入了一组微分方程。它虽然看起来很复杂,但我们面临的任务却彻底梳理清楚了,就是要解出这个方程里的S、I、R与时间t的关系函数。今天我们用计算机把这些关系函数画出来,就是通常我们在媒体上看到的疫情预测曲线。

        SIR模型非常简洁,计算出来的传染趋势也在历史上得到过有效印证。然而SIR模型的缺陷也是非常明显的,比如,本次新冠病毒肺炎存在14天的潜伏期,感染者可能在14天内完全没有任何异常症状,因此简单的三类人群划分在这里显然是不够的。考虑这一因素,可以把SIR模型进一步发展为SEIR模型,能够更精确地刻画新冠病毒肺炎疫情的传播趋势。这需要在SIR模型中加入潜伏期人群,用E表示,它是SIR模型的推广。如果用β,δ,γ,α依次表示S转化为E,E转化为I,I转化为R,E转化为R的比率,则其微分方程如下:(图1)

        对于公众而言,上述微分方程自然是生涩而又枯燥的。事实上,数学界以外的许多专家在用这些方程的时候,对其来龙去脉也未必十分清楚,尽管他们在计算机上用相关软件模拟和预测疫情走向时多半是在求解这些方程。抛开疫情中的一线数据采集,也不必观察计算机模拟的疫情演化曲线,事实上仅从以上四个方程来分析,我们至少可以得出以下三个结论:一是,疫情最终会过去,但结局如何要看防控效果。因为系统稳定点是0,所以疫情终将过去。但要注意,参数β,δ,γ,α的取值不同,疫情的终结曲线跌宕起伏千差万别,它决定了结局的温和或惨烈程度。我们的疫情防控就是要调控这些参数的大小。二是,传染率β越高,疫情终结的就越快,结局也就越惨烈。三是降低传染率β,这样才能减少人类的伤亡数量。做好个人防护、增强免疫力,这是直接调控参数β,对参数δ,γ,α产生影响。

        注意,上述讨论始终有一个前提:易感者、感染者和移除者的人数之和保持不变。这就是疫情期间封闭管理的重要性。事实上,我们这里还假设了康复者要自带免疫抗体,否则,传染可能会进入循环往复的可怕状态,这就是大家担心疫情明年再来,盼望新冠疫苗早日问世的数学逻辑。就数学建模而言,针对不满足以上两个前提假设的情况,我们还可以建立更为复杂的数学模型,这里不再赘述。

        事实上,通过数学模型我们可以定量评估出可能的感染人数和感染速度,从而选择更为有效的防疫措施。比如,我们可以用数学模型评估居民在家隔离这一防疫措施的功效:任意选择一个一千人的社区,假设其中一个人不幸感染了新冠病毒,然后开始传播。在仿真软件里输入上述数学模型,可以发现,如果完全不采取隔离措施,疫情曲线会在第五天达到顶峰,感染者数量将达到五百人左右。然而,如果对八成以上的感染者采取隔离措施,疫情曲线会推迟一天达到顶峰,而感染者的数量不会超过二百人。这就是数学模型告诉我们宅在家里的重要性。

        2.系统动力学提示科学防疫要做好三件事

        全国范围的疫情防控之战自然比一个社区、一座城市的防疫战更为艰苦卓绝,其中的主要原因是城市之间有立体的交通、交往、信息等人类活动的社交网络,这些网络构成病毒传播的层级体系,病毒可以乘高铁、飞机、轮船实现网上快速传播。整个网络组成一个层级化的复杂系统,病毒在其上传播过程异常复杂,除了传播速度难以驾驭,还有传播过程会间或演化出混沌现象,展示出现代科技手段无法应对的莫名其妙的特征。

        我们只要用疫情的科学指标给这一网络的每个节点以及连接这些节点的关系赋值,就可以生成一个网络动力系统。

        系统动力学提示科学防疫要做好三件事:一是把城市封闭成节点。每个城市自封闭管理,只能作为一个整体同相邻节点连接,形成城市群网络。这是全国总体战的必然战略选择;二是积极推动恐慌情绪向正能量转化。信息和病毒传播的耦合很有必要,不要怕披露信息引起恐慌,但要避免多种恐慌情绪叠加造成的混沌效应。恐慌情绪一旦转化为正能量,就会跟踪和阻断病毒传播;三是让病毒在博弈中退化。一旦城市群网络演化为博弈网络,就会逐步训练出阻断病毒进化的功能。

        说到这里,自然有一个问题:博弈网络中的博弈主体是谁啊?仔细一想,还真是一个值得思考的问题,这其实是我们选择和确定防疫的战略战术的首要问题。

        大家知道,博弈论可以定义为:把动物利用大自然移动的瘾魂,在决策人期待的空间里形成三维均衡的学术理论。博弈论的基本前提有:决策主体是理性追求自己利益的最大化;完全理性是共同知识。局中人、策略和收益是这一理论的三大基本要素。简而言之,它是人们在平等的对局中,各自利用对方的策略变换自己的对抗策略,达到取胜目的的理论。

        由此可见,科学意义的博弈只能发生在理性的人之间。人与病毒没有博弈的基本科学框架。有人问:假如病毒拥有了人类的智慧不就可以同人类博弈了吗?我们要思考这个问题就必须先确定一个前提性共识,那就是在一定时间内物种能够快速适应环境变化的能力,是它们征服世界的最强大的武器。

        虽然科学已经证明,细菌、病毒可以在地球各种环境下生存,但是,令人类欣慰的是,它们至今还没能进化出神经系统,因此不可能突然进化出与人类相当的智慧。假如病毒真能够进化出人类一样的智慧,而人类又陷入了与智慧病毒的博弈,那该有多么可怕?!因为它们之中很多是我们生存的必需要素。可以假想,在人参与其中的多种智慧物种的博弈中,不管是哪个物种留了下来,它都不会比人类更无私。说到底,自然的平衡其实是物种力量的平衡。

        3.引导和催生典型行为人的合作博弈是疫情防控的制胜法宝

        既然人类不能同病毒博弈,那么,这场博弈的主体或局中人是谁?如前所述,他们一定是多个智慧主体,病毒及其传播方式只是这场博弈的策略工具。仔细分析疫情防控阻击战的动力学机制,不难发现,第一个典型行为人可以定义为病毒传播的智能主体,一些人有意或无意之中担当了病毒传播的角色,可以把这一主体理解为大量这方面行为的智能集合体;第二个典型行为人无疑就是抵御病毒传播的智能集合体。这二者围绕病毒的传播和阻断的对抗行为自然是一个博弈过程。

        一般认为,博弈可以分为合作博弈和非合作博弈。合作博弈和非合作博弈的区别在于局中人之间是否存在具有约束力的协议,如果存在就是合作博弈,如果不存在就是非合作博弈。由于上述两个典型行为人分别代表两种行为的智能集合体,这一博弈在人类群体性觉醒之前,无疑是非合作博弈;一旦人类集体觉醒,这一博弈就逐步转变为合作博弈。

        合作博弈和非合作博弈的策略是完全不同的。目前,围绕新冠肺炎疫情防控的宣传、动员、管理、隔离、治疗、信息披露等手段,正是要把这一博弈过程主动引向更加积极的合作博弈方向。

        如前所述,病毒只是这场博弈的策略工具,如同赢取赌局不是销毁赌具一样,这场博弈的结局无论如何都不会消灭病毒。更何况物种起源的历史告诉我们:没有病毒,也就没有人类。所以,人类和病毒应当寻求的是一种和平共处、相辅相成的状态。有一个著名的科学实验说明,没有病毒的海水中,浮游生物停止了生长。也就是说,病毒在感染侵蚀别的微生物时,会释放出营养物质,而这些物质恰巧是其他细菌赖以生存的必需品。病毒和被病毒感染的生物体是全球生态系统中不可缺少的重要组成部分。

        其实人类能够走到今天,病毒功不可没。有研究认为,曾有一种古老病毒将遗传物质插入人类祖先的基因中,这段“被迫改编”的遗传物质是人类现代神经系统中的一部分,如果没有它们,人类的智慧或许没有今天这么成功。因此,在这场博弈中,我们的目的绝对不是消灭病毒,而是去科学地认识、控制和适应它。事实上,从古代欧洲的黑死病到西班牙大流感,到2003年的“非典”,再到这次新型冠状病毒暴发,人类在几百年间对瘟疫的应对方式其实并没有多少本质上的改变,治疗、隔离、消毒、抚慰和逃离,大体如此。隐含其中的道理就是,人类不可能消灭病毒。

        毋庸讳言,我们的免疫力正伴随着病毒的威胁在不断发展;同样,免疫力也正在推动病毒不断进化。这场席卷全球的疫情提醒我们,要重新审视生命和病毒之间相辅相成的关系,既要积累与之为敌的智慧,也要拥有和平共处的策略。这样,引导和催生典型行为人的合作博弈意识就成为疫情防控的制胜法宝。写到这里,我仿佛听到数学模型和博弈论铿锵有力的请战誓言:给我们一把大数据吧,病毒将被封闭在严密的数学逻辑的链条之下!

        (作者:乔建永,系北京邮电大学校长,数学教授、系统动力学专家)

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