物理激发的数学

    演讲人：刘克峰

    时 间：2010年10月12日

    地 点：上海世博会法国馆

    开场白 法国高等科学研究院（IHES），位于法国巴黎郊外的一个从事数学和理论物理的基础研究的私立研究机构。在上海举办世博会期间，该院联系到法国馆，于2010年10月12日在法国馆的报告厅,举办了一个极富特色的“会见解码者”公众报告会，由八位法国顶级的数学家与中国数学家一起，为中国公众做了一系列的学术报告，目的是吸引公众来了解一些现代数学，会见一些在一线工作的第一流数学家。数学家们以公众可以接受的语言,深入浅出地介绍现代数学的一些美妙结果，这样的大数学家和公众见面交流的机会，在世界范围内都是不多见的。我们从中撷取法国和中国几位专家的报告，以飨读者。

    曾经有一些伟大的数学公式改变了人类历史的进程,如牛顿的第二力学定律,F=ma，爱因斯坦的质能方程,E=mc^2,以及牛顿的万有引力定律。这些公式极其简单,却蕴含了万物的相互作用和变化规律。今天我们能够制造飞船登上月球,能够利用核能量为人类服务,这些公式为此提供了重要的理论基础。这些美妙的公式也印证了老子的名言:“大道至简。”

    “政治是暂时的，而数学方程式是不朽的。”

    古今科学家们都坚信，数学是表达大自然规律最好的语言。任何科学理论最终和最完美的表达方式应该是数学方程式。爱因斯坦曾说过：“政治是暂时的，而数学方程式是不朽的。”作为数学家和物理学家，我们苦苦追寻的就是这样的方程式，它们简单、漂亮，能够深刻地揭示大自然的奥秘。

    历史上有许多伟大的数学物理学家，比如阿基米德，他发现了杠杆原理和穷竭法；牛顿，发现了万有引力定律，发明了微积分；欧拉，发现了流体力学的欧拉方程和数学的变分法；高斯，发现了电磁场的高斯定律，也奠定了微分几何基础；爱因斯坦，其广义相对论不仅是宇宙学的基础，也推进了现代微分几何与微分方程的发展。

    在历史上，最成功的两个物理理论是量子场论和广义相对论

    许多主要的数学领域，也是由于物理的刺激而发展起来的，如微分方程、微分几何、算子代数等等。我这里要阐述的是近三十年来由弦理论激发出的一系列数学成果。

    在历史上，最成功的两个物理理论是量子场论和广义相对论，他们分别精确地描述了微观世界里的粒子和宏观世界里的星球的运动规律。量子场论中的基本方程是薛定谔方程，广义相对论的基本方程是爱因斯坦场方程，它们在一定程度上却互不相容。从爱因斯坦开始，几代物理学家梦寐以求的就是将这两组方程统一到同一个理论框架下，这样大至星球，小到粒子这些宇宙万物的运行规律和相互作用都由这一组方程式来描述。这就是大统一理论，被人们称为“万有理论”，或者“终极理论”。经过几代物理学家的努力和无数次的失败，弦理论到目前为止被认为最有希望完成大统一的梦想。弦理论的基本假设是，宇宙最基本的粒子是一些高速震荡的弦。就像振颤的小提琴琴弦给我们美妙的旋律一样，弦理论中这些震动的弦作为最基本的元素构成了我们五彩缤纷的世界。

    大统一理论应该是唯一的，但是在过去三十年间，弦论学家们发展了五种自恰的弦理论，这五种理论看起来很不相同，但每一种都很合理地揭示了一些物理中的奥秘。在1994年的第二次弦理论革命中，威滕提出了M-理论将这五种理论联系在一起，发现它们彼此是通过弦对偶互相等价的。

    我们说两种理论相互对偶，如果他们可以描述同一种物理现象。过去十几年间，弦对偶已经产生出了很多惊人的数学与物理成果。把在不同的弦理论中的计算公式通过对偶等同起来，人们得到了许多令人叹为观止的数学公式和方程。

    数学中的流形翻译于英文的manifold，取自于文天祥的著名诗句：天地有正气,杂然赋流形，下则为河岳,上则为日星。

    弦理论中一个最基本的研究对象是卡拉比—丘流形。数学中的流形翻译于英文的manifold，取自于文天祥的著名诗句：天地有正气,杂然赋流形，下则为河岳,上则为日星。它可以描述任何可以用局部平坦空间所覆盖的物体。在1976年，丘成桐先生证明了著名的卡拉比猜想，此猜想断言，任何第一陈类为零的特殊流形，叫作紧凯勒流形，都具有黎奇平坦的度量，这一类流形现在被称为卡拉比—丘流形。而这里的陈类是以陈省身先生的名字命名的一种深刻的几何不变量，由陈先生在上世纪四十年代所发现。

    复三维的卡拉比—丘流形在弦理论中非常重要，它们代表着弦理论所需要的，我们目前无法看到的四维时空之外的六维空间。弦理论断言，有了这神秘的六维空间，就有了万有理论。

    通过比较不同弦理论的数学描述，人们常常发现意外而深刻的数学猜想，得到许多令人兴奋的数学结果。比如镜对称，大N陈—赛蒙斯与拓扑弦理论的对偶。而所有这些又往往与卡拉比—丘流形紧密地联系在一起。

    通过弦对偶，人们找到了实三维流形的拓扑几何与复三维流形的复几何之间的惊人联系。很多困难的数学计算，在转化到实的三维空间后变得异常简单。而实三维和四维空间中的一些意想不到的联系也通过复三维的卡拉比—丘流形被发现。基于对偶理论的猜想和新的想法，许多困难的数学问题得到解决，而这些新的方法和结果又往往是数学家们此前连做梦都想不到的。这些来自弦对偶的猜想的解决又反过来帮助物理学家最精确地验证了这些物理理论的正确性，这也是当今世界还无法用传统的试验方法能够做到的。

    “上帝是个数学家”

    为了让大家能够对历史上数学与物理之间激动人心的交融有所了解，我这里介绍几个我过去二十年间亲身经历的例子。我们将看到卡拉比—丘流形与弦对偶在这些进展中所起的奇妙作用。

    我的第一个例子是IIA与IIB两种弦理论的对偶，这也被称为镜对称理论。这种对偶的一个基本的假设是，一个卡拉比—丘流形都有它的一个镜像，它们描述等价的物理理论。通过镜对称理论得到的最惊人的数学发现是著名的坎德拉斯镜公式。这个1991年发现的公式曾经令数学界与物理学界都兴奋异常。它使得数学家们开始密切关注弦论的进展，而物理学家们也开始学习最深刻的数学。这里涉及的数学问题有近百年的历史。数学家们一直想要计算出，对每一个给定的正整数，我们称作阶，在一个特殊的卡拉比—丘流形，即五次卡拉比—丘超曲面中有多少条有理曲线。用更通俗的语言就是说在这个特殊的卡拉比—丘空间中，对每一个阶，我们能够放进多少个球。当阶为1的时候，我们知道为2875，而阶为二的时候为60925。这两个数字的计算曾花费了数学家上百年的时间。

    令人惊奇的是，这个问题在IIA弦理论的计算中也出现了，他们把这些数叫做瞬子数。通过镜对称理论，坎德拉斯研究小组把这个问题转化为IIB弦理论中一个简单的，计算镜像卡拉比—丘流形的周期问题，而这只需要求解一个常规的四阶常微分方程。这样我们就可以一下子非常轻松地算出所有想要的数字。比如3阶时，我们得到317206375；而10阶时，我们会得到704288164978454686113488249750。坎德拉斯公式在1997年由我与连文豪、丘成桐以及吉文图分别独立证明。

    陈省身、杨振宁、丘成桐是三位伟大的华人科学家。陈省身的重要贡献包括陈—韦伊理论和陈—赛蒙斯理论，这都与他的陈类相关;除了以宇称破缺获得诺贝尔奖；杨振宁在理论物理中以杨—米尔斯方程和杨—巴克斯特方程最为著名;丘成桐则以卡拉比—丘流形,正质量猜想的证明而广为人知.他们的这些贡献在数学与理论物理中都有划时代的意义.我们将看到他们的工作通过弦对偶理论深刻地联系在一起。

    在过去二十年间,通过几何工程化技巧,弦论学家们已经成功地把陈—赛蒙斯、杨—米尔斯理论等同为弦理论的一部分。通过弦对偶,人们发现了许多与扭结不变量,黎曼面模空间等有关的惊人而美妙的数学公式。这其中很关键的工具是诺贝尔奖获得者特胡福特的大N展开技巧,就是在李群SU(N)中令Ｎ趋于无穷，并以此发现全新的现象。

    1986年，当代伟大的弦论学家威滕首先意识到陈—赛蒙斯理论是一种量子场论，并用它构造出了扭结不变量，即著名的琼斯不变量。随后数学家用量子群重新构造了扭结与三维流形的不变量，这样陈—赛蒙斯不变量就可以通过量子群来构造。而量子群中最基本的方程就是杨—巴克斯特方程。

    黎曼面的模空间是经过几代伟大数学家的发展而成为数学许多学科中最基本的研究对象，对许多研究领域的发展起到了重要的作用，许多数学工具也都可以应用到模空间的研究中去。

    计算模空间上的浩治积分是很重要也很困难的数学问题。从1980年开始，经过近十年的努力，数学家们也只能计算出一些很简单的特例。直到1990年，威滕根据物理中的矩阵模型与二维引力场的对偶作了一个惊人的猜测，认为一大类浩治积分的无穷生成函数满足一系列的偏微分方程。1992年，康切维奇证明了这个猜想，这揭开了这个研究领域激动人心的序幕。在2007年，通过找出威滕方程的循环精确解，我与徐浩证明了著名的法波猜想。数学家法波1992年提出的这个猜想给出了无穷多个浩治积分精巧的显式表达式。

    在过去的二十年间里,通过对卡拉比—丘流形做手术,威滕、大栗博司、瓦法等一批弦论学家把陈—赛蒙斯理论系统地发展成为弦理论的一部分。基于这一理论,在2001年,对于一大类浩治积分的无穷生成函数,马利诺和瓦法提出了一个由陈—赛蒙斯不变量表达的有限闭公式猜测。在2003年,我与刘秋菊、周坚一起证明了这个漂亮的公式。而前面提到的威滕猜想和其他几个有关浩治积分的著名公式都可以通过对马利诺—瓦法公式求极限来得到。

    弦论学家拉巴斯提达、马利诺、大栗博司、瓦法等进一步发展了陈赛蒙斯理论并将其与M理论联系在一起。2000年他们作出了另一个惊人的猜测，我们称作LMOV猜想。他们的猜想宣称由无穷多个陈—赛蒙斯扭结不变量组成的生成函数具有不可思议的代数性质并可以转化成另一个整系数的生成函数。在2007年我与彭磐一起证明了LMOV猜想。

    在上面的几个例子里，我们从弦理论中学到了生动的一课。很多时候计算单个的积分也许会非常困难，但把无穷多个积分放在一起的生成函数可能会很容易一起算出来，因为这些生成函数往往满足一些犹如天赐的规律和方程。

    受弦论学家的启发，数学家们发展了一系列新的猜测来理解一些不变量的整性，而这些新的不变量本质上都是从陈—赛蒙斯或者杨—米尔斯理论中来的。到这里我们看到，陈省身、杨振宁、丘成桐这三位伟大的华人科学家的工作通过弦理论密切地联系在了一起。

    数学中还有其他许多由物理启发出来的激动人心的发展。数学家唐纳森在1980年用杨—米尔斯理论革命性地推动了四维拓扑学的进步；物理学家赛博格—威滕在1996年发现了著名的新方程，再次革新了低维拓扑学。受弦理论的启发，在2002年，佩雷尔曼扩展了哈密尔顿的黎奇流，这是他开始解决庞加莱猜测的出发点。1986年数学家与弦论学家们互相启迪，并一起发现了椭圆亏格，把几何中的指标理论与数论中的模形式神奇地联系在一起，而指标理论中的关键是物理学家狄拉克发明的狄拉克算子。1990年，通过研究共形场论，弦论学家维林德发现了著名的维林德公式，给出了黎曼面上平坦向量丛模空间上一个奇妙的公式，这立刻刺激了这个领域的飞速发展。数学家辛钦受物理的启发，构造了西格斯模空间，而这个模空间是2010年费尔兹奖得主吴宝珠解决基本引理的基础。

    综上所述，我们看到，弦理论帮助数学家们发现了数学中许多主流分支之间不可思议的联系，他们的想法和远见帮助数学家解决了许多极为困难的数学问题。由此，物理的大统一理论引发出了数学大统一理论的可能性。从这个意义上讲，我们也许可以说：“上帝是个数学家。”

    成功=工作+玩耍+闭上嘴巴

    最后，我想把爱因斯坦的一个有趣的公式送给国内的孩子们。令A代表生活中的成功，X代表工作，Y代表玩耍，Z代表闭上嘴巴。那么，我们有A=X+Y+Z。我想说的是现在的孩子们也许玩儿得太少了，过多的考试消磨了他们创造力，所以我们的教育至今还没有培养出大师。