数学究竟是什么

    华东师范大学出版社去年推出“给孩子的实验室系列”首批图书（《给孩子的厨房实验室》《给孩子的户外实验室》等），着实让我眼前一亮。我认为，这套书特别适合用于孩子的科学启蒙。近期读到该系列第二批图书，其中一本是《给孩子的数学实验室》，第一反应却是惊讶和好奇：难道数学也可以通过做实验来学习？

    迫不及待翻开书，第一章内容是制作各种几何形状：圆、三角形、椭圆，棱柱、棱锥、正多面体，等等；第二章是拓扑学，重点介绍了广为人知的莫比乌斯带；第三章讲地图着色问题，涉及著名的四色定理（指在给地图着色时使用四种以内的颜色就足够了）……每章若干个实验，加起来共37个实验。书里的数学，确实是用实验而不是公式和定理来呈现的！

    通读全书可以发现：几何的内容在书中占了较大比重；第六章“奇妙的七巧板”、第七章“火柴棍智力拼图”、第八章“尼姆游戏”则是具有数学内涵的游戏；第九章的实验35哥尼斯堡桥以及上面提到的地图着色问题是非常经典的数学问题；还值得注意的是，书中内容显然超出了初等数学的范围，像第二章的拓扑、第五章的分形，都是大学里学完高等数学都不怎么会接触到的。

    书的内容颇有些出乎我的意料，也引起我的思考。这些思考，简而言之即是：数学究竟是什么？

    比如，本书为何偏重几何？当然，这并不难解释：相较于代数，几何要更容易“实验化”。不过我也在想，作为西方人编写的一套数学普及图书，它是不是也反映了西方人重视几何甚于算术（代数）的传统呢？据说，阿卡德米学园门口就写着：“不懂几何者不得入内。”这是因为，柏拉图认为，不通几何者是难以进入深奥的哲学殿堂的。纵观数学史，我们可以说，古希腊数学确实是以几何及与此相关的演绎逻辑的发达为特色的，而这也根本性地影响了西方数学后世的发展。而中国古代数学则是以计算为中心，这在公元一世纪成书的《九章算术》中就可以看得很清楚。数学是什么？是几何还是算术（代数）？学习数学应重视演绎推理还是数量演算乃至逻辑分析？中西数学传统各有何优长？这些，都是很值得思考的问题。

    作为一名中学数学老师，阅读本书的过程中我也在思考：数学的本质是什么？记得小时候学数学，最爱的是解应用题，类似鸡兔同笼、三倒油葫芦之类，很令人着迷。而当我后来学会了方程解法之后，解题难度降低了，但解题过程的趣味性却也丧失了不少。原因在于，数学问题很多都来自于现实生活，是具体的。当我们面对一道应用题，具体的情境就显现在我们脑海里；当我们解开一题，对数学的威力也有真切的感受。而后来学习的方程函数数列微积分之类，固然法力无边，离开现实生活却愈益遥远了。为什么我们觉得数学难学？也许就因为数学的这种抽象性构成了障碍，或者说，我们未能把握数学这种从具体到抽象的特质。当我们携带着公式、定理的沉重工具包，航行在无边无际的茫茫题海，难免有畏难、孤寂、心无所依之感啊！

    我是在抱怨数学的抽象性吗？不然。事实上，后来的我，对于数学那种抽象之美特别心折。学习和操弄欧几里得几何所获得的愉悦，远远超过了小时候解应用题时那种快乐。数学，于今天的我而言，代表了一个抽象的世界，一个理想和完美的世界。因此，当我读到这本《给孩子的数学实验室》，才会感到惊讶。它提醒我，数学来自生活，不只有公式定理；理解数学，需要在其抽象性和具体性之间、几何与算术之间、理想性和实用性之间保持某种平衡。

    什么是数学？有一本极为经典的数学著作以近六百页（中文版）的篇幅来回答这个问题。这就是美国数学家R.柯朗等创作的《什么是数学》。书中写道：

    毫无疑问，一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的。但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越出直接实用的局限。

    但该书反对认为数学“只是从定义和公理推导出来的一组结论”这样一种观点。该书强调“直观和构作”在数学中的意义，认为在科学中“应放弃带有形而上学性质的因素”。该书的目标是“把真实的意义放回数学中”。作者说：

    （虽然）唯一能回答“什么是数学”这个问题的，不是哲学而是数学本身中的活生生的经验。

    谈到人类对“数”的发现，书中写道：“对儿童来说，数通常总是和实际的对象连在一起的，例如手指或珠子。而且在早期的语言中，是通过对不同对象使用不同类型的数的语言来表达一个具体数字的意义的。”换句话说，在远古的人类那里，六只羊和六只鸡可能各有专用语汇，他们也许还没有抽象出“六”这样一个概念。数学，在其起源之初，就是“和实际的对象连在一起的”。

    回到《给孩子的数学实验室》这本书，我想，它的意义就是带我们回到数学“和实际的对象连在一起的”阶段——一个人的童年，或者人类的童年——来认识、学习和感悟数学，也即：“把真实的意义放回数学中”。它不是仅仅为老师和家长提供一些可以带孩子一起玩的小游戏而已，而是要让大人和孩子能从数学中找到乐趣，并进而培养对数学世界的感觉，认识什么是数学。正像作者说的：“在这本书中，你有机会像数学家那样去思考，带着一个预设的想法去实验，看看能发现什么，琢磨一个问题，看看有什么结果发生……光看书你并不会得到什么，一定要去尝试书里的实验……这是一种学习方法，不仅适用于数学，也适用于科学、工程、写作，甚至生活！”

    据R.柯朗的儿子回忆，柯朗家中顶楼上放满了各种形状的铁丝框架，“它们是用来做本书（指《什么是数学》）第七章第11节所述的肥皂膜实验的”。那成了柯恩的儿孙们“无限乐趣的源泉”。

    《给孩子的数学实验室》亦是“无限乐趣的源泉”，对于所有捧起这本书的孩子，都是如此！