如何讲好作为公理化系统的数学

    对一个学科领域作一番简短介绍，无非需要涉及三个方面：一是这领域关注的对象和问题是什么；二是研究的方法和手段；三是理论框架和研究成果。  当然，对任何一个学科来讲，这三点也不尽然是界限分明的，相互渗透才是常见的情形。可是，如纯数学这般三部分紧紧相连、不可分割，却也非同寻常。因此，数学普及的难度也就特别地大。

    在数学中，无论是问题、方法还是结果，都有一个词贯穿始终，这就是“公理化”。所谓“公理化”，就是先宣布若干基本教条为公理，不可以质疑它们的真实性，然后在此基础上，用严丝合缝的语言和滴水不漏的逻辑逐步搭建起一项项定义和一条条定理，形成一个庞大的体系，这样的大系统就称之为“公理化系统”。公理像地基，一切数学理论都要建立在它们之上。公理又像一个边框，谈论数学问题必然要限制在其中，不可能超越其外。公理化系统是一切数学理论的出发点和落脚点。数学之所以抽象，就抽象在这里，只有使用它独特的语言，才能真正理解它的内涵。  

    正由于这样的特点，要了解一点数学就不是件容易的事情。若是脱离开公理化的语言，只说结论和影响，难免有空中楼阁之感，顶多了解到一些奇闻轶事。谈谈混沌理论和“蝴蝶效应”，展示下分形的图片，使读者在一知半解中感叹下数学的神奇，激发兴趣的科普图书不妨如此，但面向大学程度的读者做严肃的介绍就不适当了。反之，若是沿用公理化的语言来讲，难免写出教科书的枯燥感觉来了。何况数学理论层级分明，需步步为营，若从公理地基出发爬到摩天大厦楼顶，那难度就太大了，对读者要求也太高。

    作者的办法是：抛弃第三点，压缩第二点（第三章“证明”），专攻第一点。空中楼阁不建也罢，既然要扎扎实实地介绍学科思想，那就不妨把最基础的问题拿出来说说清楚，专注概念一百页，说个入木三分力透纸背才好。数学概念究竟是怎么一回事？数学概念能体现出公理化的特点吗？在公理化的系统中解读，数学概念就会显得实实在在了吗？于是作者着力介绍了“无穷”（第四章）、“维度”（第五章）和“弯曲空间”（第六章）这三个看似复杂的概念。无穷是一个数吗？高维空间不怪异吗？只有物体才能弯曲，空间怎么可能弯曲呢?

    数学概念是一层层建起来的，对数学专业的学生来讲，完全搞清楚这三个概念的定义，也要花上两三年的时间去一步步地攀登。作者深入浅出、以点带面的功力就体现在，抛开符号和逻辑，单用语言也能让读者大致了解到，这些怪异的概念是怎样开始浮现在数学家的脑海中，继而又如何得到恰当定义的。于是我们看到：无穷不是一种量，而是一种不断趋向的过程，极限就是你永远到达不了的地方；高维空间不过是低维空间的自然延拓，表现维度甚至无需借助于向量；不脱离空间本身也能够发现空间有弯曲的性质，研究二维曲面不必非要站在三维空间中不可。这些概念虽然抽象，却并不荒唐，在公理化体系中的出现确实自然而然。正如作者在前言中所解释的:“我的目标在深不在广”，“详细地讨论，以说明怎样通过更深刻的方式去理解”。作者用他的笔力证明了所言非虚。

    对从事数学工作的人而言，在公理化的系统中来考虑数学问题是唯一途径，这是这门学科研究方法的最大特征，全书呈现给我们的思想正在于此。然而，数学是公理化的系统，公理化系统的基础是公理，那么我们难免要问，公理又是怎么来的呢？公理是人们随随便便编造出来的吗？什么样的公理系统才有研究的价值？公理系统的建立与现实世界是怎样的关系？公理系统是怎样运动变化发展的？这些问题都是作者没有谈及的。李大潜院士在导读中谈到“数学还要密切关注现实世界对数学提出的问题和需求，努力从外部世界中汲取生动活泼、丰富多彩的营养”，说的也正是这个意思。

    不过应当承认，关于这方面的讨论已经不再属于数学的范畴，而进入了数学哲学的领地。这本书单纯作为数学这门学科的简介，弃之不谈也是情有可原的。关于这方面的内容，我也愿意向读者推荐相关的读物。数学史家莫里斯·克莱因在《数学：确定性的丧失》（湖南科学技术出版社）中介绍了十九世纪数学家们在哲学方面的争论，也讲了作者自己就数学及其他自然科学关系的观点。伊姆雷·拉卡托斯《证明与反驳》（复旦大学出版社）借用多面体欧拉定理这个具体的例子，以对话录这种传统的哲学书写方式阐述了公理化系统与数学理论发展之间的螺旋上升的关系，试图探讨公理化在数学研究中真正发挥了什么样的作用。有着高中知识基础的数学爱好者们一定能从中获益良多。