名家名译的《算术探索》

    先说一则趣事。大学时每逢“五一”前夕有加餐，通常是在4月30日，也有29日的。由于“五一”很多人回家，加餐那天全校更有过节之气氛。我既然是数学系的，就与同学把4月30日当成是“高斯节”，因为30号正是这位伟大的德国数学家的生日（29日是“庞加莱节”）。今年4月27日，我收到了哈尔滨工业大学出版社刘培杰数学工作室寄来的、期待已久的高斯代表作《算术探索》的中译本，离高斯生日只有短短的三天。

    无疑，要对该书内容进行深入评论，我肯定没有资格。这毕竟是地位本仅次于《几何原本》的经典名著（《几何原本》在数学史上的地位可谓遥遥领先，第二名可能有六七个竞争者，《算术探索》肯定名列其中）。看到桌上这部精装的大部头著作，仿佛看到了高斯的巨大身影。不过，我觉得可以略微介绍一下它、它的非凡作者，以及中译本翻译出版的情况。

    名  著

    高斯的Disquisitiones Arithmeticae（“算术探索”或“算术探究”）1801年初版，原著是用拉丁文写的。法文译本于1807年出版。1870年，出了第二版，附有编者评注，对原著作了少许必要的编辑改动。1959年出版的俄文译本是从德文译本翻译的，部分内容参考了拉丁文版。《算术探索》的英文译本第一、二版分别于1966、1986年出版。后来还有其他文字的译本出版。

    在全书开头，高斯写道：献给最尊敬的不伦瑞克（Brunswick）和吕讷堡（Luneburg）公爵、查尔斯·威廉·费迪南（Charles William Ferdinand）亲王殿下……正是这个费迪南，发现了高斯的才华，给他接受教育的机会，是高斯的大恩人。

    全书正文共七篇。第一篇为“数的同余”，包括1-4节，1-12目（“目”就是一小节），首次引入了同余符号；第二篇为“一次同余方程”，包括5-9节，13-44目，严格证明了算术基本定理；第三篇为“幂剩余”，包括10-23节，45-93目，讨论的是模为素数、素数幂乃至若干个素数合成数的高次同余式，其中还提到了原根与指标的概念。第四篇为“二次同余方程”，包括24-41节，94-152目，讨论了二次剩余和二次非剩余方面的知识，给出了具有深远意义的二次互反律的证明；第五篇为“二次型和二次不定方程”，包括42—87节，153—307目，先是讨论一些代数上的内容（已接近群论），接着提及其在数论中的运用，比如第80节第293目“费马定理的证明：任何整数可以分解成三个三角数或者分解成四个平方数”等；第六篇为“前面讨论的若干应用”，包括88—93节，308-334目，引入了超越函数；第七篇为“分圆方程”，包括94—110节，335-366目，这被不少人认为是全书的顶峰。

    关于《算术探索》，陈省身先生的一次评价超幽默。那是我唯一一次见到陈先生，是在复旦的讲座上。他一开始就说：“黎曼是19世纪最伟大的数学家。”见到我们迟疑的目光，他不紧不慢地解释道：“你们会问，怎么把他的导师高斯给忘了呢？其实啊，高斯最伟大的成就是《算术探索》，那是1799年写完的，不算19世纪嘛。”这番解释引来哄堂大笑。陈先生的话或许是对的，如果不算《算术探索》，黎曼还真不亚于高斯。当然，杨振宁对陈先生的评价是“千古寸心事，欧高黎嘉陈”。也就是说，陈先生在几何学上的成就，堪比欧几里得、高斯、黎曼和嘉当（陈先生的导师）。据说陈先生自己认为黎曼这类人才是菩萨，而他自己仅仅是罗汉，罗汉大家未必知道。杨振宁后来又写文章说，陈先生的贡献说不定就是菩萨级的。撇开谦虚不谈，科学上一个工作的重要性，或许要经过100年方能看透，而《算术探索》已经过了200年的考验。

    名  家

    高斯（1777-1855）出生于德国北部小城不伦瑞克，是人类有史以来的三大数学家之一（另两位是阿基米德和牛顿，有时还会加上欧拉），被誉为“数学王子”。高斯也是18—19世纪之交的三大天才之一（另两位是歌德和贝多芬），有人认为，尽管高斯是三人中名气最低的（数学家不易进入公众视野），但恐怕是智力最高的。所以在他死后，大脑被取出，保存至今。

    高斯很小就表现出非凡的算术才能，不久闻名当地。出生贫寒的他最终受到费迪南公爵的资助，在卡罗琳学院完成学业。1795年，高斯来到格丁根大学。翌年因给出正17边形的尺规作图法，解决了千年难题，使他决心终生从事数学。1799年，高斯又首次严格证明了一个重要定理：任何一元代数方程都有复数根，这一结果被称为“代数基本定理”。1799年写完《算术探索》，1801年出版。尽管高斯通晓那个时代的数理科学，但对数论感情尤深。“数学是科学的女皇，数论是数学的女皇”这句名言便出自高斯之口。他的得意弟子狄利克雷为研读《算术探索》还专门写了一本笔记《数论讲义》。由于高斯的出现，格丁根大学开始成为世界数学的中心。1849年，大学庆祝高斯获得博士学位50周年。大师兴奋之余，拿了一张《算术探索》的稿纸点烟，被狄利克雷看见。顿时他惊恐万状，迫不及待地冲上去，求得高斯把这张手稿留给他作纪念。

    高斯不喜远行，生活简朴，一生平淡，偶有波折。一个比较有意思的小插曲是法国女数学家热尔曼曾化男子名同高斯书信往来讨论数论，当她在费马大定理上取得很大突破时，高斯十分惊讶和欣喜。当时，法国皇帝拿破仑企图称霸世界，法国军队大举进攻普鲁士。多亏红颜知己热尔曼的帮助，高斯受到了保护，没有成为第二个阿基米德，但她也暴露了自己的身份。后来热尔曼因癌症早逝，两人始终未见一面。此外，费迪南公爵也在一次战役中身负重伤，不久去世，这对高斯也是一次打击。

    高斯在科学上的兴趣开始转移。由于运用最小二乘法和无以伦比的计算技能确定了天文学家几个月也未找到的谷神星轨道，高斯当上了格丁根天文台的第一任台长。1809年出版了《天体运动理论》；1820年左右，应汉诺威政府之邀主持该王国的大地测量工作，由此启发得出大范围微分几何的核心成果；1831年给出复数的几何意义，并在此基础上把他早年搞的数论进一步发展到复整数，对代数数论影响很大。1830年以后，高斯越来越多地从事物理研究。他研究了表面张力理论、发展变分法、建立高斯光学，又几乎一手创立了地磁学。他与学生兼朋友韦伯合作研究电磁学，当时的电磁学单位制称高斯制。该制沿用多年，直至后来被国际单位制取代。

    高斯也是统计学权威。在被欧元取代前，10马克纸币上印有高斯的头像，背景则是正态分布图（正态分布亦称高斯分布）。高斯生前也是理财高手。

    高斯一生完成了323种著作，提出了404项创见，但只发表了178项。

    名  译

    为翻译《算术探索》，译者收集了五种译本，经比较认为从俄文译本翻译最好。潘承彪教授翻译了序以及第一、二、三、四、六、七篇，献辞和第五篇由张明尧教授翻译。译者相互仔细校对了译文。为了让读者对高斯有一个较全面的了解，由沈永欢教授撰写了传记。此外，由于各版本对注记的处理都稍有差别，沈永欢对照了五种版本中注记的异同，以保证中文译本对注记的正确处理。

    各个版本都有极少的表述值得商榷，有的可能是印刷疏忽。对此译者三人尽可能通过比较五种版本，给出译者认为是正确的翻译。

    其实在今天，科学经典名著大多已不合普通读者的口味（除了研究科学史的专家），但还是值得各大高等院校图书馆、科学爱好者收藏。北京大学出版社的“科学元典丛书”，大多是把之前其他出版社出的一些科学名著译作重新包装出版，产生了一定的影响力。丛书未将《几何原本》列入不算遗憾，因为《几何原本》太有名了，早已有好几家出版社出过（最近徐光启的节译本也出版了）。丛书中有关数学的三本都是以前别的出版社出过的，其知名度不会超过《算术探索》。估计“科学元典丛书”的编委即使考虑过《算术探索》，也未必能做成。在今天的功利时代，找个静得下心来的译者实在不易。

    但是，《算术探索》终于在刘培杰数学工作室出版了。数学的一大优点是经典永不过时，物理也差不多，生物学和计算机科学就未必了（除了极少数如达尔文或高德纳的著作）。刘培杰先生多年来一直热心数学的传播，他本人也对数学有所钻研。工作室在短短数年内出版了将近200种图书，目前，除了很多奥数方面的一手资料外，数论和不等式的名家名作也被逐一搜刮。这是件功德无量的事情。

    当然，《算术探索》是工作室图书“亮点中的亮点”。刘先生凭借自己的学识、眼光和人脉，找到了潘承彪和张明尧等国内知名数论专家翻译。潘、张二位教授不仅在数论领域成就卓著，而且著述译作不少，经验丰富，尽管如此，在面对这本数论圣经，还是小心翼翼，斟字酌句，花费十多年工夫和心血，加上出版社的努力，终于使这本巨著的中译本在2012年得以出版。说此书是名家名译，毫不过分。这本书中译本的面世，出版社高兴，广大数学爱好者欢呼，当然最开心的，还是十年磨一剑的译者。高斯若是有知也会满意。

    既然开头说了个有趣的故事，那么让我们在结束此文时再开个玩笑吧：由于高斯的原著成书较晚，很多符号和概念的写法与今天的差不多，并不很难理解，完全可以读下去（至少读一部分）。在“2012世界末日”快要来临前，逃上“诺亚方舟”的数学爱好者，应该带上这本书！