庞加莱猜想：一部壮丽史诗

    2000年这一特殊年份被联合国教科文组织定为国际数学年，虽然对数学不会产生很直接的影响，仍然显得意味深长。这一年的另一件事倒对数学具有直接影响，那就是数学家提出了7个亟待解决的问题。很显然，这一做法是对1900年希尔伯特提出著名的23个问题的效仿。如今，7个问题中属拓扑学的庞加莱猜想已被解决，另外6个问题尚未见有松动的迹象。

    20世纪：拓扑学的黄金时代

    当我们回眸一个世纪的历史时会发现，20世纪数学的主要领域之一是拓扑学，法国大数学家庞加莱是其主要开创者。到了20世纪中叶，拓扑学一跃而成为“雍容华贵的数学女王”。也许庞加莱猜想的彻底解决结束了拓扑学的黄金时代，不过将来要写20世纪数学史，拓扑学的“引领风骚”则毫无疑义。

    大概因为有中国人参与，庞加莱猜想被广为报道，在地铁站随手拿的报纸上也有相当篇幅的报道，很吊大家的胃口。不像费马大定理或哥德巴赫猜想的叙述这么“初等”，庞加莱猜想究竟说了什么，它的解决情况如何？门外汉想要全面了解，看来非得读本书不可。现在，湖南科技出版社出版的“数学圈丛书”最新译作——《庞加莱猜想》，终于可以满足众多数学迷的需要了。

    《庞加莱猜想》的写法与S.辛格的《费马大定理》非常相似，甚至有理由相信，作者欧谢就是参考了辛格的作品写的。首先是倒叙，然后是历史，分前史（猜想提出之前的几千年相关数学史），猜想的提出、初始的进展、晚期阶段，最后回到开始部分。书中的主角有：早期相关学者、问题的提出者、不走运的失败者、虽未解决但取得重大突破的数学家、笑到最后的终结者，当然，也牵涉到一些与数学不直接相关的人，毕竟一个有名的数学问题往往与文化甚至政治有关。如果说有什么不同的话，就是《庞加莱猜想》书后的注释、名词索引、进一步阅读材料达100多页，占整本书的1/3强。很难再找到一本科普书具有如此丰富的资料。看看作者介绍就知道个中原因了：欧谢原来是高维拓扑和几何学专家。专家往往比一般作者交代得更加完善。

    书中首先登场亮相的就是今天已声名远扬的佩雷尔曼。那是2003年4月7日，他在美国麻省理工学院做了个演讲，通过深入研究一个叫做里奇流的方程，佩雷尔曼确信自己是庞加莱猜想的终结者。从数学的发展史来看，创造理论是为了解决意义重大的基本问题，比如高次代数方程催生了群论，微积分则是为了处理变速问题、切线以及求面积和体积。庞加莱猜想就是拓扑学的一个最为基本的问题。1960年代后，数学几乎没有新的分支诞生，这也标志着数学的成熟，解决历史遗留问题，成为数学最大的亮点之一。

    从古希腊几何学到庞加莱猜想的提出

    我们的身体汇集了百亿年宇宙演化的元素和几亿年生物进化的结果，同样，对于一个历史性的数学猜想，也可以追溯到很远的过去。所以开场白之后，全书即开始谈论比拓扑学古老得多的几何学，具体地说，是从人们研究地球的形状开始，这主要是古希腊人的工作。经过艰苦探索，人们意识到地球是一个圆球，但如何绘制世界地图，就涉及到一个拼接和粘合的拓扑问题。进一步，宇宙的形状也作为一个新课题摆在人们面前。此外，《几何原本》第五公设预示着空间并非人们想象的那样，是一个简单平直的三维“空箱”。在数学家尝试证明第五公设屡遭失败后，非欧几何诞生了。这一场数学革命主要是三个人——罗巴切夫斯基、波尔约和黎曼——完成的。之前黎曼的老师高斯已有类似想法，只不过他守口如瓶。本书介绍了关于他们的一些有意思的故事。

    在高斯之前的18世纪，数学主要是法国人的天下，而后德国的高斯和黎曼先后坐上了当时世界数学的“第一把交椅”。直到二战之前，德国一直是世界数学中心，当然法国也不示弱，尤其是出了一匹黑马——庞加莱——本书第一主角。作为横跨19、20世纪最伟大的数学家和最渊博的学者，庞加莱被誉为“最后一个通才”，20世纪的五位顶尖数学家之一（其余为希尔伯特、外尔、冯·诺伊曼和柯尔莫哥洛夫）。书中详细提到庞加莱与当时德国数学界的头面人物克莱因展开的竞争，最终克莱因甘拜下风，庞加莱成为黎曼的真正继承人。由于他们的工作，数学很自然地从几何、分析发展到拓扑学。

    1904年，庞加莱提出一个问题，标准说法是：一个单连通的3维闭流形是否一定同胚于3维球面？这便是日后著名的庞加莱猜想。

    流形是曲线、曲面等直观几何概念的高维推广，由于已没有直观形象，研究起来十分困难。单连通则是指在流形中任何一条闭曲线都可在流形中连续变形后缩为一点。这从2维球面上看得很清楚，而环面（如自行车内胎）上不是所有闭曲线可以缩成一点的，因此环面是非单连通的。同胚的大致意思是，两个图形在连续变换下是一回事，比如照片上的卓别林与哈哈镜里的卓别林就是同胚的。

    空间的维数、空间如何弯曲、流形如何分类，这都是拓扑学家感兴趣的基本问题。为了对流形进行分类，拓扑学家对每个流形都配上一些拓扑不变量。只要两个流形的拓扑不变量不同，就足以断定两者不同胚，但反之未必（除了2维流形的判断全部不变量只有一个整数，即欧拉-庞加莱示性数——“面数+顶点数-棱数”的推广）。这时就需要加入更强的不变量，直到足以刻画流形的拓扑性质为止。2维到3维是步非常大的跨越，这一点超乎数学家的想象。无独有偶，物理学在那个时候也诞生了关于时间、空间和物质的新理论，那就是与几何、拓扑关系密切的相对论，一直延续到今天的超弦理论。这本书也花篇幅介绍了相对论，事实上庞加莱正是相对论的先驱。由此可见，数学家之所以对低维流形十分关心，不仅在于低维是人们首先需要处理的，而且关系到宇宙的形状，只是我们在直观上看不到而已（就像一个二维生物无法直接“看到”自己贴在一个曲面而不是平面上一样），一旦意识到三维以上流形的复杂，拓扑学就有搞头了。

    问题的解决和“隐士”佩雷尔曼

    最初的数十年里，猜想未得解决，这并不妨碍更多数学家去关心拓扑学主干的建造。书中提到亚历山大罗夫、霍普夫、伯克霍夫、莱夫谢茨、维布伦等数学家的贡献。引人注意的是，这批人多数是美国人，标志着美国数学的崛起（而后在庞加莱猜想上作出重要贡献的多数也是美国人）。这时，代数拓扑学出现了，突破了单一的示性数研究年代，使人们获得了更为深刻的认识。米尔诺则开启了高维拓扑的想象，发展了微分拓扑学。不久（在1960年代），斯梅尔一举解决了本来认为更加困难的5维及以上的庞加莱猜想，首开纪录，这给世界数学界带来了不小震动。数十年后，弗里德曼解决了4维庞加莱猜想。从米尔诺到弗里德曼这些美国数学家都获得了菲尔兹奖。但是，3维庞加莱猜想也就是庞加莱最初提出的猜想仍然没有解决。

    一个转折点是美国数学家瑟斯顿，他完成了几何方法的复兴。通过仔细研究三维流形的几何结构，他提出了几何化猜想，将庞加莱猜想蕴含其中。瑟斯顿也获得了菲尔兹奖，可惜人们一时也不知如何对付几何化猜想。另一位美国数学家哈密尔顿通过研究一个称作里奇流的偏微分方程，发现用它可对证明几何化猜想提供线索。但是哈密尔顿也不知如何下手，他成了接力赛中跑倒数第二棒的人。

    最关键的困难是对奇点结构的理解和手术过程的控制。所谓奇点，就是由于曲率产生的非线性项会把空间的部分区域变成的点（这一现象叫做拓扑塌陷），如果它们不被去除，证明就进行不下去。哈密尔顿的想法是通过某种拓扑“手术”把奇点去除，然后继续他的方程。如果再次发展出奇点，则重复手术……如果证明在任意有限时间内只需做有限次手术，那么庞加莱猜想和几何化猜想就得到了证明。但是每次手术时可能会引起误差，积累到一定程度，手术就没完没了。这让哈密尔顿等人一筹莫展，研究一度陷入停滞。直到2002年，佩雷尔曼终于提出一种新方法：构造一个时空距离函数用来验证一般的非塌陷条件，还引入所谓的“比例尺论证方法”。用他改进过的哈密尔顿几何手术，可以保证随时间的演进手术精度会不断提高，这样就证明了几何化猜想和庞加莱猜想！

    佩雷尔曼是与数学圈子处于半脱离状态的“隐士”，据说除中学期间的IMO金牌外，后来各种奖项一概不收，学术圈外对他的举动几乎一无所知。直到他拒绝著名的菲尔兹奖和100万美元（七大猜想每个悬赏100万美元），反而激起了人们更大的好奇心，一时火得不得了。  

    有一个不算缺憾的“缺憾”，就是书中关于庞加莱猜想的最终解决即佩雷尔曼这一段太简略了，我觉得这不是作者的疏忽，毕竟当代数学越来越抽象，要把它们写成科普，比物理化学天文地理难多了。费马大定理因为表述初等、历史悠久，所以尽可吹上一通；而要介绍庞加莱猜想就颇费心机，好在还可与宇宙形状挂上钩。前不久越南青年数学家吴宝珠因证明难度极大的、朗兰兹纲领的“基本引理”而获菲尔兹奖，许多努力工作30余年的数学家终于松了口气，因为若是久攻不克的基本引理有错，将意味着他们的努力付之东流，弄不好就是“三十功名尘与土”啊！这是何等动人的数学史诗，然而却很难写成科普。科普书写作难度很大，目前期待国内出现《庞加莱猜想》这样的精彩作品显然不现实，那么，能够多一些这样的译著也是好的，也应该喝彩。