数学和艺术的高维连通

    数学和艺术的内涵和表达方式不同，反映出的我们这个世界的层面也是不一样的。数学是科学的基础，是客观世界的基准，是大自然的语言。而艺术是人们主观世界的升华，是审美和情感的集成，是精神世界的语言。它们各有具象和抽象的表达。数学的具象就是应用数学，而其抽象就是理论数学。艺术的具象就是生活中的艺术，而其抽象就是超现实艺术。尽管有如此多的对立不同，但它们的共性是发现和创作。它们在哲学或者更高层次上相通，这里可以用一个数学的词，叫“高维连通”。

    数学和艺术在历史发展过程中似乎各不相干、各走各的，但稍加分析就可以看出它们是互相影响、交织前行的。数学是从形（几何）和数字（代数）开始的，形状和颜色也是艺术表达的一个基本方式，颜色的本质是不同比例的原色混配。只不过数学研究的是形和数量内部的逻辑关系，而艺术的形形色色是应用了其外在的特点。从这点上来说，它们具有共同的出发点。

    古希腊时期（约公元前四百年前后），文化、艺术有一段辉煌的发展时期，在数学上也有极为杰出的成就，例如黄金分割比例的发现。黄金分割是数学和艺术最直接的联系。它是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，他听到打铁一强一弱的声音很好听，由此启发，找到了黄金分割比例0.618和1.618。中国诗人白居易在《琵琶行》中也有“大珠小珠落玉盘”的描述，或许跟毕达哥拉斯听到的打铁的声音有异曲同工之妙。

    文艺复兴时期，科学入画是其艺术表现的一个重要特点。例如，炉火纯青的透视技巧。透视后来变成数学理论，形成了数学的一个新分支——射影几何。这一时期的代表人物之一达·芬奇的画作中含有很多科学元素，大家熟知的《蒙娜丽莎》是按照黄金分割的方式布局的，有对数螺线和黄金三角形的结构隐藏于后。再比如，北方的代表人物丢勒直接把数学画到了《忧郁》中，画中女神头顶上是一块幻方，每个横行或竖行加起来都是34，底下是绘画的年代“1514”年。

    工业革命的特征是大机器的产生，机器极大地改变了社会形态和人们的生活方式，也深刻地影响着艺术。例如照相机的出现让许多肖像画家丢掉了饭碗，也让画技在“像”和“不像”上用力失去了意义。这时艺术家们开始探索更深层次的、不浮表面的东西，例如感觉、动感。法国画家莫奈的《印象日出》就是其中的代表。然而那个时代，数学家们还在为精准较劲，直到一个世纪后计算机的出现和对大量模糊信息处理的需求，模糊数学才应运而生。这点上，艺术走到了数学前面。

    这个时代还有一个特征就是“动”，为此静态数学不够用了，用于处理动态的强有力的工具微积分诞生了。微积分也引发了第二次数学危机。画家们也开始让静态的画面动起来。其中的代表作如德加的《舞女》，模糊的画面有了眩晕感。

    到了后现代，计算机出现了，解放了人们的脑力。同时随机现象、大数据的处理都给数学提出了挑战，混沌、分形等现象也被数学深入研究。这段时间，数学经历了第三次危机——集合论的悖论危机。数学越来越具象，艺术却越来越抽象。艺术更深入地探索抽象的哲学理念，很多数学的抽象概念和超自然的表述被直接应用到作品里，例如高维、异空、分形等，如达利所描绘的柔软时间的作品《永恒的记忆》，还有毕加索的立体主义作品等。

    这个时期也出现了一种新型艺术，这就是计算机美术。绘画者不用画笔，而是用键盘写程序，然后计算机运行，效果可能完全超出编程者的预想。现在更有直接机器人绘画的作品，至于这种作品能不能称为“创作”还在争议中。当然，数学和艺术将继续以自己的方式解释、描绘和理解这个世界，有互相补充，有各自精彩，有同工异曲，也有灵犀相通。它们正如法国著名作家福楼拜的名言所说：“科学与艺术，从山麓分手，又在山顶汇合”。

    （作者：梁进，系同济大学数学科学学院教授，根据在科学出版社举办的第二届“科学与艺术”高峰论坛上的报告整理）