错误往往是创造的开始

    编者的话

 

    1月13日，我们发表了北京第二实验小学副校长华应龙老师的文章《有“化错”，才有真正的学习》。华老师认为，“化错教学”是破解“标准化”教育模式，培育良性教育生态的需要，是矫正重“结果”，轻“过程”教学弊端的需要。那么，在实际教学中，如何运用呢？今天，我们就呈现华老师的课堂现场，感悟华老师是如何将错误的尝试最终引向正确的结果，让学生体悟到“失败是成功之母”。

 

【课前慎思】

 

    学生在作业中经常会生成一些非常可贵的猜想，可是，往往是想到就用，不去验证。有时碰巧对了，我会鼓励他们坚守自己的猜想，因为如果不继续做全面、深入地思考和探究，下次遇到似是而非的情景或者跨过一定界限，就会错得糊里又糊涂。有时碰巧错了，如果得不到恰当的引导，创新的火花便从此渐渐熄灭。其实，错误往往是创造的开始。

 

    作为教师，在学生猜想之后又应该做些什么？数学事实首先是被猜想然后是被证实，那么，学生学习数学的过程就应该是被看作在做猜想和验证的游戏。著名数学家、教育家G·波利亚在他的经典名著《数学与猜想》中指出：“在数学领域中，猜想是合理的，值得尊敬的，是负责任的态度。请允许我在此向教授所有班级的数学教师们呼吁：让我们教猜想吧！”他给我们的忠告是：“尽早建立猜想，慢些承认它们。”

 

    一般地，不能根据一个例子就做出判断。无论举出多少正例都不能完全确定结论的绝对正确性，而只要举出一个反例，就可以说明结论的错误。所以，这节课想借助学生作业中的一些创造性猜想的讨论，让学生明白猜想其实就是提出了一个问题，一个假设，有理由较少的猜想，有理由较多的猜想；猜想之后需要验证。举的例子首先要判断是否蕴含在假设之中，验证之后，可能是确认猜想，也可能是要修正猜想。

 

    那么，验证的方法有哪些呢？举正例，找反例，打比方想算理？除了初中将开始学习的演绎证明，还有小学五年级学生能接受的验证方法吗？“穿新鞋走老路”算不算？也就是有了一个新的猜想，验证时是走业已确认的老路，最后看是否是殊途同归。那“穿新鞋走老路”算举例子，还是讲道理呢？

 

    对学生而言，举出一个反例来证明结论的错误是有经验的，也是容易理解的。而对于举出很多正确的例子还未必能证明结论的正确性，是比较难以理解的。因此本节课，毫无疑问要在这方面用力。举的例子不可能穷尽的话，从哪里知道就举不出反例呢？当学生懂得了多个例子也不能确定猜想的绝对正确性，是否就给学生种下了怀疑所学知识的种子，给学生的创造留下了余地？

 

    我在故我思。好奇心是最好的老师，那么，最高的学习是不是应该是求不知？

 

    因此，我想和五年级学生一起分享这一节课，力争达到以下目标：1.懂得猜想之后要验证，初步学会验证的方法。2.进一步体认差错会暴露出问题、指引方向，培养对作业差错的好感。3.感受数学的理性之美，积累发现数学的经验。

 

【课堂实录】

 

    师：前几天我在同学们作业本上发现了两个很有意思的猜想。我跟老师们交流之后，老师们说“以前也见过，很有意思！”因此，我今天拿过来和在座同学们分享，大家请看——

 

    （板书学生的作业。）

 

    25.3×4.2

 

    =25×4+0.3×0.2

 

    =100+0.06

 

    =100.06

 

    看了这份作业，你有什么想法，你怎么来评价？

 

    （有一学生一脸惊喜：“原来还可以这样做！”）

 

    生：我想这个25.3乘4.2，我觉得可以把它变一下，可以把它写成25加上0.3的和，再乘以4加上0.2的和。这样的话，就等于25乘4再加上0.3乘0.2，等于100加0.06，就等于100.06。

 

    生：我觉得这个算得不是特别对，因为我假设如果25.3不乘以4.2，而乘的是4，那样的话，积应该是101.2，这样都比100.06大。而现在25.3乘4.2，4.2比4还要大，所以这个答案肯定是不对的。

 

    师：看了这个解答，你最好奇的是哪一步？

 

    生：怎么从25.3乘以4.2一下子变成25×4+0.3×0.2了？

 

    师：是不是从这儿我们可以看出他有一个猜想？

 

    生：我觉得他的猜想是两个数的乘积等于两个数的整数部分乘积加上小数部分的乘积。

 

    师：这个猜想究竟对不对？有人认为对，有人认为不对，怎么办？

 

    生（齐）：验证。

 

    师：怎么去验证？

 

    生（齐）：用竖式算一遍。

 

    师：真好！（示意大家动笔算。）很多同学都算完了，你发现了什么？

 

    生：算完了以后，发现黑板上这个答案是错误的。

 

    师：不但是错了，而且还是小了。我很好奇，他当时是怎么想的？

 

    生：我觉得他是这么想的，先把两个整数乘了，再把两个小数乘了，对他来说思路就比较清晰。

 

    师：思路比较清晰！清晰在于——我们做小数加法的时候，是不是这么想的？（课件逐步出示以下算式）

 

    25.3+4.2

 

    =（25+0.3）+（4+0.2）

 

    =（25+4）+（0.3+0.2）

 

    =29+0.5

 

    =29.5

 

    生：对。

 

    师：小数加法是对的，小数减法这么做对吗？

 

    生（齐）：对。

 

    师：顺着这样的思路往下想，小数乘法这么做对吗？

 

    生（齐）：不对。

 

    生：我觉得如果小数乘法按照小数加法这么算是不对的，这个乘法应该是25.3乘以4，然后加上25.3乘以0.2，这两个的和差不多是106.26。首先是0.3乘0.2等于0.06，然后再25乘0.2等于5，然后再用0.3乘4等于1.2，然后再用25乘4得到100。按照他的猜想，他只算了25乘4，0.3乘0.2，少算了一个25乘0.2和0.3乘4，所以他的结果就少了。

 

    （同学们纷纷点头，赞赏地发出“对”“对”的声音。）

 

    师：明白了？这样一个猜想为什么是不对的呢？原来是和乘法的意义有关。看了下面这个长方形面积图。你会更加明白。（课件逐步出示如下）这个大长方形的长和宽分别是多少？它的面积用算式表示是什么？

 

    师：你在想什么？

 

    生：橘黄色面积的算式是0.3×0.2。（众生点头。）

 

    生：哦，我明白了，两个绿色地方是他少算的部分。（众生频频点头。）

 

    师：现在我们回头过来，再看看这个作业，你怎么评价？

 

    生：我觉得这个同学很聪明，他知道运用原来学过的方法，但是他在做之前，应该想一想它有什么弊端，比如说，少算了什么。

 

    生：加减法是一个运算级，乘除法是第二个运算级，我们不能把加法运算方法用到乘法上面去。他是想用简便的方法，就是不太对。

 

    师：我很赞同大家的观点。看到这个作业，我很欣赏！我觉得他能够边计算、边观察数的特点、边思考简便算法，让呆板的计算射进了思想的光芒。这个作业，错得真好，让我们明白了一个道理：既然是猜，就有可能对，也有可能错，因此，猜想之后——

 

    生（齐）：要验证。

 

    师：回顾一下，刚才我们是怎么验证的？

 

    生：刚才我们用正常算的方法，用竖式去算的。

 

    师：正常算，举一个例子算一算就知道了。

 

    生：想事实中算式所表示的图。

 

    师：真好，角度不一样。我们可以从竖式去想它的道理，也可以根据长方形面积图来说明。我们可以通过举例子来验证，还可以讲道理。这么看来，你觉得这个作业好不好？

 

    生：真好！

 

    师：开始我说有两个作业，现在我们看另外一个作业，请看——（板书算式）

 

    （638-113）÷25

 

    =525÷25

 

    =500÷25+25÷25

 

    =20+1

 

    =21

 

    看完之后有什么想说的？有人在判断对错，我们首先考虑对还是错？

 

    生（齐）：对了。

 

    师：你是不是发现它中间也有一个猜想？他的猜想是……

 

    （500+25）÷25

 

    =500÷25+25÷25

 

    看着屏幕，你能用自己的话说说这个猜想吗？

 

    生：A加上B的和再除以C等于A除以C加上B除以C。

 

    生：我觉得这个猜想是把乘法分配律变成了除法分配律。

 

    师：现在的问题是除法有分配律吗？或者说，这是一个偶然的巧合还是一个必然的规律，怎么办？

 

    生（齐）：多试一把。

 

    师：对，再多试一把，就再举几例子，尽可能多地举几个例子。

 

    师：我请两位同学到前面交流一下，有请马少轩。

 

    马：我首先举一个例子300加上25的和除以25，也就等于300除以25加上25除以25，300除以25等于12，25除以25等于1，12加上1等于13，然后我列一个竖式答案也是13。第二个例子……

 

    师：好，我们看得明白了！你这样举4个例子，结论呢？

 

    马：我的结论是这个类似的除法分配律的猜想是成立的。

 

    （全班热烈的掌声。）

 

    ……

 

    师：太棒了！刚才同学交流太精彩了。我特别欣赏马少轩举了4个例子，每个例子不单有按照猜想计算出来的步骤，旁边还有一个验证的竖式。这样的比较，很有说服力。

 

    师：有没有人找到没有验证到除法有分配律的例子？

 

    （没有学生回应。少顷，有学生忽然想到“质数”，因此教师建议“找一个质数试一下”，全班也没找到一个反例。）

 

    师：现在我们是不是做出一个结论，除法是有分配律的？

 

    师：是不是找到很多例子都是对的，就能够做出这个结论呢？

 

    生：不是。

 

    师：我们找不到反例，不一定就没有反例，是不是？所以，关于哥德巴赫猜想，有一个数学家已经找了一亿多个例子，但都没有能够做出绝对正确的结论。刚才我们举例子了，现在能不能讲道理？用生活中的事例来讲道理。

 

    生：我是方程证明的。

 

    生：我看明白了。除以一个数等于乘以这个数倒数，乘法是有分配律的，最后再倒过来，乘以一个分数等于除以那个分数的倒数，因此证明了除法有分配律。

 

    （用方程证明的学生一脸灿烂，连声说“谢谢！”）

 

    师：不单说“谢谢”，还可以说“你是我的知音”。（全班笑。）都明白了是吗？

 

    生：我首先肯定他的方法是正确的，然后我觉得他直接写（a+b+c+d）÷y就可以了。

 

    师：我同意你的建议。我们讲道理的话，可以把两个数的和除以一个数，转换成乘以这个数倒数，这样就有乘法分配律了，这样就用原来的知识解决现在的问题。

 

    用生活当中的事例，也可以来讲道理。看到“除法”是不是让我们想到“分东西”呢？

 

    生：比如说，要把525个苹果，平均分成25份，可以先把500个苹果平均分成25份，再把25个苹果平均分成25份。

 

    师：现在这么一说，是不是觉得除法真的有分配律？（学生点头称是。）用上我们发现规律，口头回答计算过程。

 

    用发现的规律做几道题。

 

    （1300+26）÷13=1300÷13+26÷13=100+2=102

 

    （720+8）÷8=720÷8+8÷8=90+1=91

 

    150÷（15+15）=150÷15+150÷15=10+10=20

 

    （前两题大家异口同声，到第三题时有不同的声音了。）

 

    师：这道题等于多少？

 

    生（部分学生）：5。

 

    师：等于是5还是20？

 

    生（齐）：5。

 

    师：这儿发现问题了，刚才咱们说除法有分配律，现在怎么没有了呢？它们之间不同在哪儿？我们刚才举例子的时候怎么没有考虑到这种情况呢？请举3个例子验证“一个数除以两个数的和”的情况。

 

    （同学们都在埋头举例。）

 

    师：还真找3个例子啊？

 

    生：（醒悟过来了）有一个不成立的例子就足够说明了。

 

    师：（板书：正例——？反例——！）举100个正例，也不能肯定；举1个反例，就可以否定。

 

    如果开始举例，就考虑到这种类型，举的例子就更有代表性了。不过，也好，它让我们学会从错误中学习，并且，有差错的故事更难忘。

 

    （同学们开心地笑了。）

 

    师：我有一个猜想：“所有在场听课的老师都是北京人。”请同学们来帮我验证。你想做些什么？

 

    生：一个一个地去问。

 

    生：请是北京人的老师举手。

 

    生：请不是北京人的老师举手。

 

    师：你觉得哪个方法好？（大家都同意第三个）这就是反例的力量。所以，数学家们常常喜欢找反例。

 

    回顾这两份作业，回想这一节课，你有什么收获呢？

 

    生：我的收获就是懂得了猜想之后要验证，验证可以举例子，可以讲道理。

 

    生：我还知道了做数学题要多做一些猜想，然后再去验证它。这是很有趣的事情。

 

    生：我知道我要学会猜想，不会猜想的话，就永远不会有发现。

 

    师：我想跟大家交流咱们老校友钱学森的话：“所谓优秀学生就是要有创新。没有创新，死记硬背，考试成绩再好也不是优秀学生。”

 

    创新来自猜想。要创新就要敢猜想，有猜想就会有差错。这节课，让我们感悟到“猜想之后——”

 

    生（齐）：要验证。

 

【课后反思】

 

    应该说，这节课课前提出的教学目标是较好地达到了。课上学生惊喜——“原来还可以这样做！”这节课让我惊讶——猜想的力量是无穷的，它可以撞开思维之锁。

 

    已经拖堂了，我和学生都还有好多话儿没有说出口，时间都去哪儿啦？一节课40分钟究竟能承载多少思考？教学内容的现有结构是一乘一除、一对一错、一正一反，完美的结构能构建起完美的课堂吗？很难，很难！因为这是从结构出发的，这是从教师的“一厢情愿”出发的，而不是基于当下的学生的。再者，我们应该追求构造完美的课堂吗？追求美妙的课堂，可能会更好。老子说“大成若缺”。断臂的维纳斯不完整，但是很美妙。能接受和欣赏残缺之美，我们在课堂上就会更自在和圆满。并且，波利亚不是已经说了嘛，“尽早建立猜想，慢些承认它们”。怎么慢？多举例是慢，细思量是慢，不毕其功于一“课”，不奢望一节课就让学生充分地承认、十分地信服也是慢……