孪生素数猜想

    素数（也称质数）是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等等。公元前300多年，古希腊数学家欧几里得在其经典著作《几何原本》中用反证法证明了素数有无穷多个。围绕着素数存在许多著名的问题，孪生素数，也称“双生素数”或“双胞胎素数”，就是其中的一个。孪生素数是指一对素数，它们之间相差2，如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等等。是否存在无穷多对孪生素数？这是迄今尚未解决的著名数学难题。

A、困扰数学家的谜题

    欧几里得是最早注意到孪生素数这种有趣现象的人，他曾大胆猜想：存在无穷多对孪生素数。这一猜想被称为“孪生素数猜想”。法国数学家阿尔方·波利尼亚克在1849年提出了更一般的猜想（即“波利尼亚克猜想”）：对所有正整数k，存在无穷多个素数对（p，p+2k）。k等于1时就是孪生素数猜想，而k等于其他正整数时就称为弱孪生素数猜想（即孪生素数猜想的弱化版）。因此，也有数学家把波利尼亚克作为孪生素数猜想的提出者。

    1900年，德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎举行的第2届国际数学家大会上发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是19世纪数学的研究成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题（通称“希尔伯特问题”）；孪生素数猜想是希尔伯特问题的第8个的一部分。由于孪生素数猜想与哥德巴赫猜想属于“姐妹”问题，一些数学家希望通过解决前者，进而攻克后者。

    挪威数学家维果·布朗在1915年通过使用著名的筛法（sieve method）证明了2能表示成两个最多有9个素数因子的数的差。这个结论已经有些近似于孪生素数猜想了。可以看到，只要将这个证明中的“最多有9个素数因子的数”改进到“最多有1个素数因子的数”，就可以证明孪生素数猜想了。

    英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德在1921年提出一个与波利尼亚克猜想类似的猜想，现在通称为“哈代-李特尔伍德猜想”或“强孪生素数猜想”（即孪生素数猜想的强化版）。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。由于孪生素数的分布极不均匀，并且随着数的增大变得越来越稀疏，研究孪生素数分布模式的难度也就非常之大。

    在证明孪生素数猜想上的阶段性成果，一般地说可以分为两类。一类是非估算性的，这方面迄今最好的结果是1966年由中国数学家陈景润利用筛法所取得的。他证明了：存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果的形式与他关于哥德巴赫猜想的结果很类似。目前一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。

    另一类是估算性的，美国数学家丹尼尔·戈德斯坦及其合作者所取得的结果就属于这一类。这类结果估算的是相邻素数之间的最小间隔。2005年，戈德斯坦等人提出一个重要猜想：存在无穷多间隔小于16的素数对。假设关于算术级数素数分布的埃利奥特-哈伯斯塔姆猜想成立，这一弱孪生素数猜想就可以证明了。这算是一项具有里程碑意义的成果，但可能存在逻辑推论上的瑕疵破绽。美国数论专家多里安·戈德菲尔特曾指出：“他们假定了一个没有人知道如何证明的猜想。”他们提出的弱孪生素数猜想迄今尚未得到证明。

B、华裔科学家取得了重大突破

    2013年4月，美国新罕布什尔大学讲师张益唐将一篇题为“素数之间的有界距离”（Bounded gaps between primes）的论文投稿给世界顶级数学期刊《数学年刊》。他证明了：存在无穷多个之差小于7000万的素数对。由于这项成果很重要，论文很快就被录用了。

    张益唐论文的审稿人、美国数论专家亨里克·艾温尼科评价说：“其证明是对的，并且是一流的数学工作。”他认为，张益唐掌握解析数论最复杂课题的知识，并得以运用自如，从而突破令许多专家都止步不前的屏障；张的工作将引发持久雪崩式的优化和改进，以及随之而来的理论创新。

    有关专家指出：这一重大的突破给孪生素数猜想的证明开一个真正的“头”，并把在茫茫大海捞针的技术活和力气活缩短到在小小水塘捞针。“这是解析数论历史上最伟大的成果之一。”英国数论专家安德鲁·格兰维尔如此评价张益唐的工作，“这是非凡的。我从没想过这会发生在我的有生之年。”

    尽管从2到7000万是一段很大的距离，英国《自然》杂志在线报道还是称张益唐的工作为一个“重要的里程碑”。戈德斯坦指出：“从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。”他认为，每缩小一段范围，都是在获得终极答案（k=1）的道路上踏上一个脚印。

    在张益唐论文被公布于众后，短短的一个月以内，“7000万”就被华裔数学家、菲尔茨奖得主陶哲轩发起的网上讨论班缩小到6万；在7月底前，数字已经缩小到了5000以下。陶哲轩和英国数学家本·格林在2004年证明了一个与孪生素数猜想有关的重要命题——存在任意长的素数等差数列；这是一项伟大的成就。

    国际数论界认为，张益唐工作是解析数论的顶峰之作。不少世界主流媒体都对他的重要成果和传奇经历作了报道，并给予了高度评价。张益唐率先证明了弱孪生素数猜想，先后获得晨兴数学卓越成就奖、奥斯特洛夫斯基数学奖和科尔数论奖，最近也由讲师直接升至正教授。

C、孪生素数研究的最新进展

    加拿大蒙特利尔大学26岁的博士后詹姆斯·梅纳德最近宣称：他已将无穷多个素数对之差缩小到600。这名前不久才从英国牛津大学获得博士学位的年轻数学家已收到许多来自同行的祝贺和鼓励；其研究成果将发表在科学刊物上。

    他的博士后导师格兰维尔认为，梅纳德的工作大大加深了人们对素数的了解，他的成果令人感到兴奋不已；孪生素数猜想证明又前进了一大步。事实上，他的方法也有益于解决其他数学问题。

    梅纳德儿时就对数字、拼图和逻辑推理游戏特别感兴趣，读小学时被老师和同学们称为“数学神童”。攻读博士学位期间他已尝试证明孪生素数猜想。因性格孤僻，他喜欢独自探究这一猜想。

    他找到了一种用于改进和简化张益唐的方法的新方法，更换了一种用于估计一个数字是素数的概率的新工具。他说：“张益唐和我从同一点开始，但我们采取了完全不同的路径。我使用的方法要简单得多。”

    梅纳德认为其方法既适用于孪生素数，又适用于三胞胎素数（由三个连续素数组成的数组）、四胞胎素数（由四个连续素数组成的数组）和更大的素数集合。他已表明，人们可以沿着实数直线找到任何选定素数数量的有界集群。

    梅纳德在接受媒体采访时表示，用他的方法可以将无穷多个素数对之差缩小到6（即k等于3），但不能缩小到2；要缩小到2，仍需新的方法和工具。他坚信孪生素数猜想是可以证明的。让我们拭目以待！（作者为挪威奥斯陆大学博士后）