数学定理也欢乐

    酒鬼总能找到家

    定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟却可能永远也回不了家。

    如果一个酒鬼在街道上随机游走，假设整个城市的街道呈网格状分布，酒鬼每走到一个十字路口，都会概率均等地选择一条路（包括自己来时的那条路）继续走下去。那么他最终能够回到出发点的概率是100%。

    醉酒的小鸟就没这么幸运了。假如小鸟飞行时，每次都从上、下、左、右、前、后概率均等地选择一个方向，那么它很有可能永远也回不到出发点。也就是说，在三维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率只有大约34%。

    这个定理是著名数学家波利亚在1921年证明的。随着维度的增加，回到出发点的概率将变得越来越低。在四维网格中随机游走，最终能回到出发点的概率是19.3%，而在八维空间中，这个概率只有7.3%。

    你在这里

    定理：把一张地图平铺在地上，总能在地图上找到一点，这个点下面的地方正好就是它在地图上所表示的位置。

    1912年，荷兰数学家布劳威尔证明了这样一个定理：假设D是某个圆盘中的点集，f是一个从D到它自身的连续函数，则一定有一个点x，使f(x)=x。换句话说，让一个圆盘里的所有点做连续的运动，则总有一个点可以正好回到运动之前的位置。这个定理叫做布劳威尔不动点定理。

    这个定理也可以扩展到三维空间中去：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同，虽然这个点在搅拌过程中可能到过别的地方。

    不能抚平的毛球

    定理：你永远不能理顺椰子上的毛。

    想象一个表面长满毛的球体，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像鸡冠一样的一撮毛或者像头发一样的旋吗？拓扑学告诉你，这是办不到的。

    这就是毛球定理，也是由布劳威尔首先证明的。用数学语言来说就是，在一个球体表面，不可能存在连续的单位向量场。这个定理可以推广到更高维的空间：对于任意一个偶数维的球面，连续的单位向量场都是不存在的。

    毛球定理在气象学上有一个有趣的应用：由于地球表面的风速和风向都是连续的，因此地球上总会有一个风速为0的地方，也就是说气旋和风眼是不可避免的。